函数概念与基本初等函数
一、函数的基本概念与性质
1. 函数的三要素
- 定义域：判断函数解析式有意义的条件（分母不为零、偶次根号内非负、对数真数大于0等）。在图像识别题中，常通过定义域是否关于原点对称来判断奇偶性。
- 对应法则：分段函数、绝对值函数、复合函数等。
- 值域：极少单独考查，常与最值、零点结合。
2. 函数的单调性
- 判断方法：利用基本初等函数的单调性、图像观察、导数。
- 应用：
- 比较大小（如 \(a = 1.01^{0.5}\) 与 \(b = 1.01^{0.6}\)）
- 解抽象不等式（如 \(f(2^{|a-1|}) > f(-\sqrt{2})\) 利用偶函数单调性转化）
- 求参数范围（结合分段函数单调性）
3. 函数的奇偶性
- 判断步骤：
- 定义域关于原点对称
- 计算 \(f(-x)\) 与 \(f(x)\) 的关系
- 常见应用：
- 简化图像识别（奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称）
- 简化比较大小（偶函数括号内可加绝对值）
- 求参数值（如 \(f(x)=2^{|x-m|}-1\) 为偶函数 \(\Rightarrow m=0\)）
4. 函数的周期性
在天津高考中直接考查较少（主要在三角函数中），偶有小题涉及。
5. 函数的最值
结合二次函数、分段函数、绝对值函数考查，常出现在零点问题中作为边界条件。
二、基本初等函数
1. 指数函数 \(y = a^x \ (a>0, a\ne1)\)
- 图像：过定点 \((0,1)\)，\(a>1\) 递增，\(0
- 性质：值域 \((0,+\infty)\)，单调性明确。
- 运算：\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)，\((a^m)^n = a^{mn}\)。
2. 对数函数 \(y = \log_a x \ (a>0, a\ne1)\)
- 图像：过定点 \((1,0)\)，\(a>1\) 递增，\(0
- 性质：真数大于0，值域 \(\mathbb R\)。
- 运算：
- 换底公式：\(\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}\)
- 恒等式：\(a^{\log_a b} = b\)，\(\log_a (MN)=\log_a M + \log_a N\)
- 常考点：比较大小（同底、借用中间值 0,1）。
3. 幂函数 \(y = x^\alpha\)
- 图像特征：过定点 \((1,1)\)，\(\alpha>0\) 在 \((0,+\infty)\) 递增，\(\alpha<0\) 递减。
- 比较大小：常与指数、对数函数混合比大小。
4. 二次函数 \(y = ax^2+bx+c\)
- 核心：抛物线图像、对称轴、顶点、单调区间、判别式。
- 常见题型：零点分布、直线与抛物线相切、分段函数组成部分。
三、函数的图像与解析式识别
天津高考选择题必考题型，给图像判解析式。
常用方法
- 奇偶性：观察是否关于y轴、原点对称
- 定义域：排除无意义自变量
- 特殊点：代入 \(x=0,\pm1,x\to\pm\infty\) 判断正负
- 局部单调性：区间上升/下降趋势
- 函数值符号：区间正负快速排除选项
四、比较大小问题（高频）
常见策略
- 单调性：同底指对、幂函数单调性比大小
- 中间值法：借用 \(0,1,\dfrac12\) 作桥梁
- 构造函数：同结构式子构造单调函数
- 指对互化：对数指数互相转化比较
五、分段函数与绝对值函数
1. 分段函数
- 求值：按自变量区间代入对应解析式
- 单调性：分段单调 + 区间衔接端点满足大小关系
- 零点问题：分段讨论，数形结合
2. 绝对值函数
- 去绝对值：分区间讨论正负
- 图像变换：\(|f(x)|\) 下翻上；\(f(|x|)\) 右翻左
六、函数的零点与方程的根（压轴热点）
- 方程 \(f(x)=g(x)\) 的解 \(\iff\) 两函数图像交点横坐标
- 零点个数 \(\iff\) 图像交点个数
常用解题方法
- 分离参数法：化为 \(a=h(x)\) 看水平线与曲线交点
- 分类讨论法：含参二次方程根的分布
- 数形结合法：画分段、绝对值翻折图像
- 临界相切法：直线与曲线相切求参数边界
计数原理与概率统计
一、计数原理与二项式定理
1. 排列组合
- 天津卷常以填空题，重点考查：
- 组合数公式：\( C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!} \)
- 分类加法、分步乘法计数原理
- 有限制条件的组合问题：如“至多有一个偶数”的四位数（2017年理科第14题），需要分“全奇数”和“一个偶数三个奇数”两类计算。
典型题：用数字1-9组成没有重复数字且至多有一个偶数的四位数，答案1080。
2. 二项式定理
- 每年必考一道填空题（5分），题型固定：
- 通项公式：\( T_{r+1} = C_n^r a^{n-r} b^r \)
- 求指定项系数（常数项、\(x^m\)项）
- 注意符号：括号内为减法时，通项包含\((-1)^r\)
典型题示例：
- 2024年：\((\frac{3}{x^3}+\frac{x^3}{3})^6\) 常数项为20
- 2023年：\((2x^3-\frac{1}{x})^6\) 中 \(x^2\) 系数为60
- 2022年：\((\sqrt{x}+\frac{3}{x^2})^5\) 常数项为15
关键技巧：令x的指数为0（常数项）或目标指数，解出r，再代入系数。
二、概率
1. 古典概型
- 基本事件总数和有利事件数均需用排列组合计算。
- 常见模型：从含不同类别元素中抽取（如种子选手、黑球白球）。
例题：2024年天津第13题——从5个活动中选3个，求甲选到A的概率。枚举或组合法得 \(\frac{3}{5}\)。
2. 条件概率
- 公式：\(P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\)
- 通常结合古典概型或独立事件考查。
例题：2024年天津第13题第二空：已知乙选了A，再选B的概率为 \(\frac{1}{2}\)。
2022年扑克牌抽A问题：两次都抽到A概率 \(\frac{1}{221}\)，第一次抽到A下第二次抽到A概率 \(\frac{1}{17}\)。
3. 独立事件与互斥事件
- 相互独立：\(P(AB)=P(A)P(B)\)
- 互斥：\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)
- 常结合“至少”“恰好”等词语。
例题：2020年天津第13题——甲、乙落入盒子概率分别为 \(\frac12,\frac13\)，都落入概率 \(\frac16\)，至少一个落入概率 \(\frac23\)。
4. 独立重复试验与二项分布
- 若 \(X\sim B(n,p)\)，则 \(P(X=k)=C_n^k p^k (1-p)^{n-k}\)
- 期望 \(E(X)=np\)
例题：2019年理科第16题——甲同学三天到校概率 \(\frac23\)，求分布列和期望 \(E(X)=2\)。
5. 随机变量的分布列与期望
- 分布列必须满足概率和为1。
- 期望公式 \(E(X)=\sum x_i p_i\)
- 常见随机变量类型：抽取个数、命中次数、红灯个数等。
例题：
- 2018年理科第16题：从7人（4睡不足3睡足）中抽3人，求睡眠不足人数X的分布列和期望 \(\frac{12}{7}\)。
- 2017年理科第16题：三个路口遇到红灯（概率 \(\frac12,\frac13,\frac14\)），求X的分布列和期望 \(\frac{13}{12}\)。
6. 复杂事件概率（两个独立变量之和或差）
- 利用独立性将联合事件分解为乘积。
例题：2017年理科第16题第二问：两辆车共遇到1个红灯的概率 = \(P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=\frac{11}{48}\)。
三、统计
1. 频率分布直方图
- 纵轴：频率/组距 → 小矩形面积 = 频率
- 总面积为1。
- 常见考查：
- 求某一区间内的频数（人数） = 频率 × 总样本数
- 由部分频率反推总量（如2022年第4题：第一组+第二组共20人，求第三组有疗效人数12人）
总结公式：
某组频数 = 总样本数 × 组距 × 该组小矩形的高度
2. 百分位数（新高考热点）
- 第p百分位数：将数据从小到大排列，计算位置 \(i = n \times p\%\)。
- 若i为整数，取第i和i+1的平均数；若不为整数，向上取整。
- 在频率分布直方图中，利用面积累加求对应分位数。
例题：2024年模拟题中多次出现（如第70百分位数84.55，第85百分位数86等）。
3. 样本数字特征
- 中位数、众数、平均数、方差、标准差。
- 注意：每一数据加同一个常数，方差不变；乘以常数，方差乘以该常数的平方。
4. 线性回归分析
- 回归方程：\(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}\)，其中 \(\hat{b}=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x})^2}\)，\(\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}\)
- 相关系数r：\(|r|\) 越接近1，线性相关越强；r>0正相关，r<0负相关。
- 残差：实际值减去预测值。
重要结论：
- 回归直线必过样本中心 \((\bar{x},\bar{y})\)。
- 相关系数r与回归系数\(\hat{b}\)符号相同，但数值不一定相等。
- 2024年模拟题多次强调：\(|r|\) 越大线性相关性越强，与r的正负无关。
典型题：2024年天津二模第2题——回归方程 \(\hat{y}=0.839x+28.957\)，正确选项C：父亲身高每增1cm，儿子身高平均增0.839cm。
5. 独立性检验
- 计算 \(\chi^2\)，与临界值比较。
- 若 \(\chi^2 > 临界值\)，则推断两个变量有关联，且犯错误概率不超过对应α。
例题：2024年一模第12题——\(\chi^2=4.712>3.841\)，可判断有关联，犯错误概率不大于0.05。
