高中数学导数公式大全
导数运算法则
① \((u \pm v)’ = u’ \pm v’\)
② \((Cu)’ = Cu’\)
③ \((uv)’ = u’v + uv’\)
④ \(\left(\dfrac{u}{v}\right)’ = \dfrac{u’v – uv’}{v^2}\)
⑤ 复合函数求导：若 \(f(x)=a[b(x)]\)，则 \(f'(x)=a'(b(x))\cdot b'(x)\)
小技巧：幂指函数求导
\(a(x)^{b(x)} = e^{b(x)\cdot\ln a(x)}\)
↓
\(\left[a(x)^{b(x)}\right]’ = \left[e^{b(x)\cdot\ln a(x)}\right]’\)
基本初等函数导数表
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(C\) | \(0\) |
| \(x^a\) | \(a\cdot x^{a-1}\) |
| \(a^x\) | \(a^x\cdot\ln a\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(\log_a x\) | \(\dfrac{1}{x\cdot\ln a}\) |
| \(\ln x\) | \(\dfrac{1}{x}\) |
| \(\ln|x|\) | \(\dfrac{1}{x}\) |
| \(\sin x\) | \(\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(-\sin x\) |
| \(\tan x\) | \(\sec^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x\) |
| \(\cot x=\dfrac{1}{\tan x}\) | \(-\csc^2x=-\dfrac{1}{\sin^2x}=-1-\cot^2x\) |
| \(\sec x=\dfrac{1}{\cos x}\) | \(\sec x\cdot\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos^2x}\) |
| \(\csc x=\dfrac{1}{\sin x}\) | \(-\csc x\cdot\cot x=-\dfrac{\cos x}{\sin^2x}\) |
| \(\arcsin x\) | \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) |
| \(\arccos x\) | \(-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) |
| \(\arctan x\) | \(\dfrac{1}{1+x^2}\) |
| \(\text{arccot }x\) | \(-\dfrac{1}{1+x^2}\) |
高中导数题 · 常用放缩不等式
一、指数放缩 \(e^x\) 系列
1. \(e^x \ge x+1\)（\(x \in \mathbb{R}\)，当且仅当 \(x=0\) 取等）
2. \(e^x \ge ex\)（\(x \in \mathbb{R}\)，当且仅当 \(x=1\) 取等）
3. \(e^x \ge \dfrac{1}{2}x^2+x+1\)（\(x \ge 0\)）
4. \(e^x \le \dfrac{1}{1-x}\)（\(x < 1\)）
5. \(e^{-x} \le 1-x\)（\(x \in \mathbb{R}\)）
二、对数放缩 \(\ln x\) 系列
1. \(\ln x \le x-1\)（\(x>0\)，当且仅当 \(x=1\) 取等）
2. \(\ln x \ge 1-\dfrac{1}{x}\)（\(x>0\)，当且仅当 \(x=1\) 取等）
3. \(\ln x \le \dfrac{x^2-1}{2}\)（\(x \ge 1\)）
4. \(\ln(1+x) \le x\)（\(x>-1\)）
5. \(\ln(1+x) \ge \dfrac{x}{1+x}\)（\(x>-1\)）
6. \(\ln x \le \sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)（\(x \ge 1\)）
三、三角函数放缩
1. \(\sin x \le x\)（\(x \ge 0\)）
2. \(\sin x \ge x-\dfrac{x^3}{6}\)（\(x \ge 0\)）
3. \(\cos x \ge 1-\dfrac{x^2}{2}\)（\(x \in \mathbb{R}\)）
4. \(x\cos x \le \sin x \le x\)（\(0 \le x \le \dfrac{\pi}{2}\)）
四、分式 & 多项式经典放缩
1. \(\dfrac{x}{1+x} \le \ln(1+x) \le x\)
2. \(\dfrac{2(x-1)}{x+1} \le \ln x \le \dfrac{x^2-1}{2x}\)（\(x \ge 1\)）
3. \(\sqrt{x+1} \le 1+\dfrac{x}{2}\)
4. \(x-\dfrac{1}{x} \ge 2\ln x\)（\(x>0\)）
五、对数均值不等式（极值点偏移神器）
对 \(a>0,b>0,a \neq b\)，有：
\(\sqrt{ab} < \dfrac{a-b}{\ln a-\ln b} < \dfrac{a+b}{2}\)
即：几何均值 < 对数均值 < 算术均值
高等数学｜泰勒公式 常用麦克劳林展开式
一、泰勒公式 & 麦克劳林公式定义
1. 泰勒公式（在 \(x=x_0\) 处）：
\[f(x)=\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k + o((x-x_0)^n)\]
2. 麦克劳林公式（\(x_0=0\) 常用特例）：
\[f(x)=\sum_{k=0}^n \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + o(x^n)\]
适用范围：\(x\to 0\) 极限计算、导数放缩、不等式证明。
二、常用麦克劳林展开式（带佩亚诺余项）
1. 指数函数：
\[e^x = 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots+\dfrac{x^n}{n!}+o(x^n)\quad(x\in\mathbb{R})\]
2. 自然对数：
\[\ln(1+x) = x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}+o(x^n)\quad(-1< x\le 1)\]
3. 正弦函数：
\[\sin x = x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^{n}\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})\quad(x\in\mathbb{R})\]
4. 余弦函数：
\[\cos x = 1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^{n}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})\quad(x\in\mathbb{R})\]
5. 反正切函数：
\[\arctan x = x-\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^5}{5}-\cdots+(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+1})\quad(|x|\le 1)\]
6. 幂函数二项式展开：
\[(1+x)^\alpha = 1+\alpha x+\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\dfrac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\cdots+o(x^3)\quad(|x|<1)\]
三、高考/考研常用低阶泰勒展开（\(x\to0\)）
\[ \begin{aligned} e^x &= 1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)\\ \ln(1+x) &= x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)\\ \sin x &= x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)\\ \tan x &= x+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)\\ \arcsin x &= x+\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)\\ \cos x &= 1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}+o(x^4) \end{aligned} \]
四、\(x\to0\) 常用等价无穷小（由泰勒直接推出）
\[ \begin{aligned} &x\sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim \ln(1+x) \sim e^x-1\\ &1-\cos x \sim \dfrac12x^2,\quad \tan x – x \sim \dfrac13x^3,\quad x-\sin x\sim \dfrac16x^3 \end{aligned} \]
