1.1 函数：最核心定义

函数是什么？

函数是一个输入对应唯一输出的变换规则。

• 输入：来自定义域
• 输出：来自上域
• 实际输出的全体：值域（值域 ⊆ 上域）

关键： \(f\) 是函数，\(f(x)\) 是函数值，不能说“\(f(x)\) 是函数”。

例子：\(f(x)=x^2\) 可把任何实数变成平方数。

1.1.3 图像求值域：光影法

方法：把图像向 y 轴打水平光，影子覆盖的 y 范围就是值域。

例子： \(F(x) = x^2\)，定义域 \([-2, 1)\)

平方后最小值为 0，最大值为 4，所以值域是 \([0, 4]\)。

图：向 y 轴投影求值域

1.2 反函数：撤销键

反函数就是把输入和输出反过来：

\( f(x) = y \iff f^{-1}(y) = x \)

反函数 4 条核心性质：

• 定义域 = 原函数的值域
• 值域 = 原函数的定义域
• 还原公式：\( f^{-1}(f(x)) = x \)，\( f(f^{-1}(y)) = y \)
• 图像关于直线 \( y = x \) 对称

图：原函数与反函数关于直线y=x对称

1.2.1 水平线检验：判断有没有反函数

核心规则：

任意一条水平线与图像最多相交一次，则函数存在反函数。

• \(y = x^3\)：有反函数（任意水平线只交一次）
• \(y = x^2\)：无反函数（一条水平线交两次）

本质：函数必须是“一一对应”，才能有反函数。

图：\(y=x^3\)可反，\(y=x^2\)不可反

1.4 奇函数 & 偶函数（必考点）

偶函数：\(f(-x)=f(x)\)

图像关于y轴具有镜面对称，如\(x^2,x^4,\cos x\)。

奇函数：\(f(-x)=-f(x)\)

图像关于原点有180°的点对称，如\(x^3,x^5,\sin x\)。

唯一既奇又偶： \(f(x)=0\)

奇函数在0处有定义： \(f(0)=0\)

判断步骤（万能法）

1. 写出 \(f(-x)\)

2. 化简：

• = \(f(x)\) → 偶函数
• = \(-f(x)\) → 奇函数
• 都不是 → 非奇非偶

本章总结（读透版）

• 函数：1个输入→1个输出，三要素：定义域、上域、值域
• 定义域：避开分母0、偶次根号负、对数≤0
• 垂线检验判函数，水平线检验判反函数
• 反函数：关于y=x对称，限制定义域可强行构造
• 复合函数先内后外，有顺序；乘积无顺序
• 偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点对称
• 直线用点斜式，常见函数图像必须熟记
• 绝对值表示距离，图像翻折

本章完全吃透，可直接进入微积分学习！

2.1 弧度制（微积分唯一单位）

核心换算：

\(\pi\) 弧度 = \(180^\circ\)，\(2\pi\) 弧度 = \(360^\circ\)

常用角必须背熟

• \(0^\circ = 0\)
• \(30^\circ = \dfrac{\pi}{6}\)
• \(45^\circ = \dfrac{\pi}{4}\)
• \(60^\circ = \dfrac{\pi}{3}\)
• \(90^\circ = \dfrac{\pi}{2}\)
• \(180^\circ = \pi\)
• \(270^\circ = \dfrac{3\pi}{2}\)
• \(360^\circ = 2\pi\)

换算公式

\(\text{弧度} = \dfrac{\pi}{180} \times \text{角度}\)

\(\text{角度} = \dfrac{180}{\pi} \times \text{弧度}\)

2.2 扩展定义域：任意角三角函数

在坐标系中：角 \(\theta\) 终边上任一点 \((x,y)\)，到原点距离 \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)（恒正）

\(\sin\theta = \dfrac{y}{r}\)

\(\cos\theta = \dfrac{x}{r}\)

\(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\)

单位圆：\(r=1\)，则 \(\sin\theta=y,\ \cos\theta=x\)

2.3 三角函数图像与奇偶性

\(y=\sin x\)

• 周期：\(2\pi\)
• 值域：\([-1,1]\)
• 奇函数：\(\sin(-x)=-\sin x\)
• 过点：\((0,0),\ (\frac{\pi}{2},1),\ (\pi,0),\ (\frac{3\pi}{2},-1)\)

\(y=\cos x\)

• 周期：\(2\pi\)
• 值域：\([-1,1]\)
• 偶函数：\(\cos(-x)=\cos x\)
• 过点：\((0,1),\ (\frac{\pi}{2},0),\ (\pi,-1)\)

\(y=\tan x\)

• 周期：\(\pi\)
• 渐近线：\(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)
• 奇函数
• 定义域：\(x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi\)

\(y=\sec x\)（正割函数）

• 周期：\(2\pi\)
• 渐近线：\(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)
• 偶函数
• 定义域：\(x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi\)
• 值域：\((-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\)

\(y=\csc x\)（余割函数）

• 周期：\(2\pi\)
• 渐近线：\(x=k\pi\)
• 奇函数
• 定义域：\(x\neq k\pi\)
• 值域：\((-\infty,-1]\cup[1,+\infty)\)


\(y=\cot x\)（余切函数）

• 周期：\(\pi\)
• 渐近线：\(x=k\pi\)
• 奇函数
• 定义域：\(x\neq k\pi\)


整体奇偶性总结

奇函数： \(\sin x,\ \tan x,\ \cot x,\ \csc x\)

偶函数： \(\cos x,\ \sec x\)

3.1 极限的基本思想（最核心）

极限到底是什么？

当 \(x\) 无限接近 \(a\)，但永远不等于 \(a\) 时，\(f(x)\) 趋近的值，就叫极限。

记作：

\[\lim_{x \to a} f(x) = L\]

含义：\(x\) 越靠近 \(a\)，\(f(x)\) 越靠近 \(L\)，想多近就多近。

超级关键：极限和 f(a) 无关！

例子：

\[g(x)=\begin{cases}x-1,&x\neq2\\3,&x=2\end{cases}\]

虽然 \(g(2)=3\)，但当 \(x\to2\) 时，\(g(x)\to1\)，所以：

\(\lim\limits_{x\to2}g(x)=1\)

虚拟变量

极限里的 \(x\) 只是占位符，换成任何字母都一样：

\[\lim_{x\to2}f(x)=\lim_{t\to2}f(t)=\lim_{q\to2}f(q)=1\]

3.4 在 ∞ 和 −∞ 处的极限

含义： \(x\) 变得越来越大（或越来越负）时，\(f(x)\) 趋近的值。

水平渐近线定义

• 右侧渐近线 \(y=L\) ⟺ \(\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=L\)
• 左侧渐近线 \(y=M\) ⟺ \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=M\)

例子

\(\lim\limits_{x\to\infty}\sin\dfrac1x=0\)，因为 \(\dfrac1x\to0\)，\(\sin0=0\)。

\(\lim\limits_{x\to\infty}\sin x\) 不存在（永远振荡）。

大 vs 小（重新定义）

• 大数： 绝对值非常大
• 小数： 非常接近 0，但≠0
• 0 不是小数，只是 0

3.7 极限的基本类型小结

• 右极限：只看 \(x=a\) 右侧

• 左极限：只看 \(x=a\) 左侧

• 双侧极限：左右极限必须相等

• ∞ 极限：看右侧水平渐近线

• −∞ 极限：看左侧水平渐近线

• 极限不存在：左右不等 / 趋于无穷 / 无限振荡

4.1 x→a 时的有理函数极限

有理函数： 多项式 ÷ 多项式，形如 \(\dfrac{p(x)}{q(x)}\)

三步标准解法

1. 直接代入 \(x=a\)，若分母≠0 → 结果就是函数值
2. 若得 \(\dfrac{0}{0}\) 不定式 → 因式分解，约去公因子 \((x-a)\)
3. 若得 非0÷0 → 垂直渐近线，判断左右符号

经典例题：\(\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x-2}\)

① 代入得 0/0 → 因式分解

② \(x^2-3x+2=(x-2)(x-1)\)

③ 约去 \((x-2)\)，得 \(\lim\limits_{x\to2}(x-1)=1\)

答案：1

立方差公式（必背）

\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\]

非0÷0 型：判断符号定无穷

看 \(x\to a^+\) 和 \(x\to a^-\) 时分母分子符号，决定 \(+\infty\) 或 \(-\infty\)。

4.4 x→∞ 时多项式型函数极限

多项式型：含根号、分数次幂，但趋势像多项式

根号提取首项规则

\(\sqrt{x^{\text{偶数}}}=|x^m|\)，x→∞ 时直接取正

例：\(\sqrt{16x^4}=4x^2\)，\(\sqrt[3]{27x^6}=3x^2\)

根号差型（∞−∞）：仍用共轭

例：\(\sqrt{4x^6-5x^5}-2x^3\) → 乘 \(\sqrt{4x^6-5x^5}+2x^3\)

本章总结（读透版）

• x→a：先代入 → 0/0 因式分解 → 非0/0 判渐近线
• 根号差：一定乘共轭有理化
• x→∞：只看首项，同除最高次，低次项都变0
• 次数比：相等得系数比，上大得无穷，下大得0
• x→−∞：偶次根号开奇次幂必须加负号
• 绝对值：分段讨论，去绝对值再算极限
• 所有极限只看附近趋势，不看该点函数值

本章吃透，所有多项式极限全部秒杀！

5.1 连续性（一笔画到底）

直观理解：函数图像在该点不抬笔、不跳跃、无空洞。

5.1.1 在一点连续的三要素（必须全部满足）

函数 \(f\) 在 \(x=a\) 连续 ⟺ 以下三条同时成立：

• 1. \(\lim\limits_{x\to a}f(x)\) 存在且有限（左右极限相等）
• 2. \(f(a)\) 有定义
• 3. \(\lim\limits_{x\to a}f(x) = f(a)\)（极限=函数值）

\(\boldsymbol{\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)}\)

5.1.2 在区间上连续

• 开区间 \((a,b)\)：每一点都连续
• 闭区间 \([a,b]\)：内部连续，左端点右连续，右端点左连续
• 定义域内处处连续 ⟹ 函数连续

5.1.5 奇次多项式必有实根

证明思路：

• 奇次多项式首项 \(a_nx^n\)，\(n\) 奇
• 当 \(x\to+\infty\) 与 \(x\to-\infty\) 时符号相反
• 由介值定理 ⟹ 必有一点穿过x轴

任意奇次多项式至少有一个实根

5.2.5~5.2.6 导数定义（核心公式）

导数 = 切线斜率

\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

等价形式：

\[f'(x)=\lim_{z\to x}\frac{f(z)-f(x)}{z-x}\]

导数记号

\(f'(x)\)，\(y’\)，\(\dfrac{dy}{dx}\)，\(\dfrac{d}{dx}f(x)\)

5.2.9 高阶导数

一阶：\(f'(x)\)，\(\dfrac{dy}{dx}\)

二阶：\(f”(x)\)，\(\dfrac{d^2y}{dx^2}\)

三阶：\(f”'(x)\)，\(\dfrac{d^3y}{dx^3}\)

n阶：\(f^{(n)}(x)\)

本章总结（读透版）

• 连续：极限 = 函数值，图像不断
• 闭区间连续 ⇒ 介值定理 + 最值定理
• 导数：瞬时变化率 = 切线斜率，由极限定义
• 可导 ⇒ 光滑；尖点、垂直、间断都不可导
• 可导必连续，连续未必可导
• 多项式、指数、三角、对数在定义域内都连续可导

本章吃透，微积分正式入门！

6.1 使用定义求导（基础极限法）

导数定义：

\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

例题1：\(f(x)=\dfrac1x\) 的导数

\[ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\dfrac{1}{x+h}-\dfrac1x}{h} =\lim_{h\to0}\frac{-h}{hx(x+h)} =\lim_{h\to0}\frac{-1}{x(x+h)}=-\frac1{x^2} \]

\(\boldsymbol{\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac1x\right)=-\dfrac1{x^2}}\)

例题2：\(f(x)=\sqrt{x}\) 的导数

乘共轭有理化：

\[ f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac1{2\sqrt{x}} \]

\(\boldsymbol{\dfrac{d}{dx}\sqrt{x}=\dfrac1{2\sqrt{x}}}\)

幂函数通用公式（核心）

对任意实数 \(a\)：

\[ \frac{d}{dx}(x^a)=a x^{a-1} \]

• 整数：\((x^n)’=nx^{n-1}\)
• 分数：\((\sqrt{x})’=(x^{1/2})’=\frac12x^{-1/2}\)
• 负数：\((x^{-1})’=-x^{-2}\)

6.3 求切线方程（标准三步法）

步骤：

1. 求导得斜率 \(m=f'(x_0)\)
2. 求切点 \((x_0,f(x_0))\)
3. 点斜式：\(y-y_0=m(x-x_0)\)

例题

\(y=(x^3-7)^{50}\) 在 \(x=2\) 处切线

① \(y’=150x^2(x^3-7)^{49}\quad \Rightarrow\quad y'(2)=600\)

② 切点 \((2,1)\)

③ 方程：\(y=600x-1199\)

6.6 分段函数求导（两步检验）

分段点 \(x=a\) 可导 ⟺ 同时满足：

1. 在 \(x=a\) 连续：左极限 = 右极限 = 函数值
2. 在 \(x=a\) 左右导数相等

绝对值分段技巧

\[|A|=\begin{cases}A,&A\ge0\\-A,&A<0\end{cases}\]

先去绝对值写成分段函数，再求导。

7.1 三角函数的极限（三大类）

处理三角极限必须先判断：小数情况 或 大数情况 或 一般点。

7.1.3 大数情况（\(x\to\infty\)）

核心性质：

\(-1\le\sin(\text{任意})\le1,\quad -1\le\cos(\text{任意})\le1\)

结论：

\(\boldsymbol{\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sin(\text{任何})}{x^\alpha}=0,\quad \alpha>0}\)

典型例题

\(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sin x}{x}=0\)

\(\lim\limits_{x\to0}x\sin\dfrac1x=0\)（有界×无穷小）

\(\lim\limits_{x\to\infty}x\sin\dfrac5x = 5\)（换元看成小数情况）

7.2 三角函数的导数（六大公式必背）

由定义推导，利用 \(\lim\limits_{h\to0}\dfrac{\sin h}{h}=1\) 与 \(\lim\limits_{h\to0}\dfrac{1-\cos h}{h}=0\)。

带“co-”的函数求导都带负号！

7.2.3 经典特殊函数：连续可导但导数不连续

函数：

\[f(x)=\begin{cases}x^2\sin\dfrac1x,&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}\]

结论：

• 处处连续
• 处处可导，\(f'(0)=0\)
• 但 \(\lim\limits_{x\to0}f'(x)\) 不存在
• 即：可导 ≠> 导函数连续

8.1 隐函数求导（核心法则）

核心思想：

1. 把 \(y\) 看作 \(x\) 的函数；

2. 等式两边同时对 \(x\) 求导；

3. 遇到 \(y\) 的表达式，必须乘 \(\boldsymbol{\dfrac{dy}{dx}}\)（链式法则）。

最基础公式（必须背）

\(\dfrac{d}{dx}\big(y\big)=\dfrac{dy}{dx}\)

\(\dfrac{d}{dx}\big(y^2\big)=2y\cdot\dfrac{dy}{dx}\)

\(\dfrac{d}{dx}\big(\sin y\big)=\cos y\cdot\dfrac{dy}{dx}\)

\(\dfrac{d}{dx}\big(\cos y\big)=-\sin y\cdot\dfrac{dy}{dx}\)

8.1.2 隐函数二阶导数（求两次）

步骤：

1. 先求一阶导，得到 \(\dfrac{dy}{dx}\)
2. 对一阶导等式再次对 \(x\) 求导
3. 遇到 \(\dfrac{dy}{dx}\) 直接保留，遇到 \(y\) 仍乘 \(\dfrac{dy}{dx}\)
4. 代入已知点的 \(x,y,\dfrac{dy}{dx}\)，解出 \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\)

关键区分：

\(\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2\)：一阶导平方

\(\dfrac{d^2y}{dx^2}\)：二阶导（真正凹凸性）

8.2.2 经典例题2：两车距离变化

勾股定理：\(a^2+b^2=c^2\)

求导：\(2a\dfrac{da}{dt}+2b\dfrac{db}{dt}=2c\dfrac{dc}{dt}\)

靠近为负，远离为正：

\(\dfrac{da}{dt}=55,\ \dfrac{db}{dt}=-45\)

代入 \(a=21,b=28,c=35\)：

\(\boldsymbol{\dfrac{dc}{dt}=-3}\) 英里/小时（距离在缩短）

本章总结（读透版）

• 隐函数求导：对 \(x\) 求导，\(y\) 项必乘 \(\dfrac{dy}{dx}\)
• 求斜率：先代定点值，再解 \(\dfrac{dy}{dx}\)（更简单）
• 二阶导：求两次导，保留 \(\dfrac{dy}{dx}\)，最后代值
• 相关变化率：四步法 → 列方程 → 对 \(t\) 求导 → 代值
• 符号规则：增加为正，减少为负（极易扣分）
• 几何常用：勾股定理、相似三角形、圆/球/圆锥公式

本章吃透，隐函数与变化率题型全部通关！

9.1 指数函数基础

形式：\(y=a^x\)（\(a>0,a\neq1\)）

自然底数：\(e\)

\[e=\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}\approx2.71828\]

指数函数图像性质

• \(a>1\)：单调递增，过 \((0,1)\)，\(x\to-\infty\to0\)
• \(0
• 定义域：\(\mathbb{R}\)，值域：\((0,+\infty)\)

9.4 指数与对数求导公式（全书核心）

复合链式法则

\((e^{u})’ = e^u \cdot u’\)

\((\ln u)’ = \dfrac1u \cdot u’\)

9.7 幂指函数求导 \(y=u^v\)

两种方法：

1. 写成指数：\(y=e^{v\ln u}\) 再求导

2. 对数微分法

公式（直接用）：

\[(u^v)’ = v u^{v-1} u’ + u^v \ln u \cdot v’\]

10.1 导数与反函数

10.1.1 用导数证明反函数存在

若 \(f(x)\) 在区间上满足以下任一条件，则存在反函数：

• ① \(\forall x,\ f'(x)>0\)（严格递增）
• ② \(\forall x,\ f'(x)<0\)（严格递减）
• ③ \(f'(x)\ge0\) 且仅有限点为0
• ④ \(f'(x)\le0\) 且仅有限点为0

只要不恒为0，就满足水平线检验。

10.2.1 反正弦函数 \(\arcsin x\)

限制定义域：\(y=\sin x,\ x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\)

求导推导：

\(x=\sin y \Rightarrow 1=\cos y\cdot y’\Rightarrow y’=\dfrac{1}{\cos y}\)

\(\cos y=\sqrt{1-x^2}\)（因 \(y\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],\ \cos y\ge0\)）

\(\boldsymbol{(\arcsin x)’=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)

10.2.6 反三角函数化简（必考技巧）

1. 内层是周期函数：先化到主值区间再抵消

例：\(\arcsin\big(\sin\frac{13\pi}{10}\big)=\arcsin\big(-\sin\frac{3\pi}{10}\big)=-\frac{3\pi}{10}\)

2. 混合三角：用 \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)

例：\(\sin\big(\arccos\frac{\sqrt{15}}{4}\big)=\frac{1}{4}\)

11.1 函数的极值

11.1.1 全局极值 vs 局部极值

• 全局最大/最小：整个定义域上最高/最低点
• 局部最大/最小：某点附近小范围内最高/最低点
• 全局极值一定是局部极值，反之不成立

11.1.2 临界点与极值定理

临界点： \(f'(c)=0\) 或 \(f'(c)\) 不存在的点

极值定理：

开区间内局部极值必是临界点

闭区间内局部极值：临界点 或 端点

11.3 中值定理（MVT）

条件：

• \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 连续
• \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 可导

结论：

\(\boldsymbol{\exists c\in(a,b),\ f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}}\)

直观： 平均速度 = 某点瞬时速度

中值定理 ⇒ 罗尔定理（令 \(f(a)=f(b)\)）

11.5 临界点分类（\(f'(c)=0\)）

方法1：一阶导数符号法（万能）

• 左正右负 ⇒ 局部最大值
• 左负右正 ⇒ 局部最小值
• 左右不变号 ⇒ 水平拐点

方法2：二阶导数判别法（快速）

• \(f”(c)<0\) ⇒ 局部最大值（凹向下）
• \(f”(c)>0\) ⇒ 局部最小值（凹向上）
• \(f”(c)=0\) ⇒ 失效，必须用方法1

12.1 符号表格法（核心工具）

12.1.1 函数值符号表格（正负）

1. 找出所有零点与不连续点
2. 按从小到大排序
3. 每个区间取测试点
4. 判断函数正负，填入表格

直接看出：图像在x轴上方/下方

12.1.2 一阶导数符号表格（增减）

• f'(x) > 0 ⇒ 函数递增 ↗
• f'(x) < 0 ⇒ 函数递减 ↘
• f'(x) = 0 ⇒ 水平切线 —

12.1.3 二阶导数符号表格（凹凸）

• f”(x) > 0 ⇒ 凹向上 ∪
• f”(x) < 0 ⇒ 凹向下 ∩
• f”(x)=0 且两侧变号 ⇒ 拐点

12.3.2 例题2：\(f(x)=x\ln x\)（完整作图）

1. 对称性：非奇非偶（x>0）

2. 截距：x=1，无y截距

3. 定义域：x>0

4. 渐近线：无垂直/水平渐近线

5. 导数：\(f'(x)=\ln x+1\)，临界点\(x=\dfrac1e\)

6. 单调性：\((0,\frac1e)\)减，\((\frac1e,+\infty)\)增

7. 极值：极小值\((\frac1e,-\frac1e)\)

8. 二阶导：\(f”(x)=\frac1x>0\)，全程凹向上

9. 拐点：无

图像：先减后增，全程凹向上，最低点在1/e

12.3.5 例题5：分式多项式 \(f(x)=\frac{x^3-6x^2+13x-8}{x}\)

1. 化简：\(x^2-6x+13-\frac8x\)

2. 渐近线：x=0（垂直），无水平

3. 趋势：x→±∞，趋近于\(y=x^2\)

4. 一阶导：临界点x=-1（极小），x=2（拐点）

5. 符号表：x<0为正，01为正

图像：近抛物线，x=0处断裂