2026-北辰区-数学-一模-24题
题目条件
在平面直角坐标系中，O为原点，矩形OABC的顶点A在x轴正半轴，顶点C(0, 2√3)。D为OA上一点，∠ODC=60°，过D作DE⊥CD交AB于E，且DE=CD。
(Ⅰ) 填空：点D的坐标为______，点E的坐标为______；
(Ⅱ) 将△COD沿x轴向右平移，得到△C’O’D’，设OO’=t，△C’O’D’与四边形BCDE重叠部分的面积为S。
① 若重叠部分为四边形C’MDN，用含t的式子表示S，并写出t的取值范围；
② 当1≤t≤3时，求S的取值范围。
(Ⅰ) 求点D、E的坐标
1. 先看点D：在Rt△COD中，OC=2√3，∠ODC=60°，∠COD=90°。
\(\tan 60^\circ = \dfrac{OC}{OD} \implies \sqrt{3} = \dfrac{2\sqrt{3}}{OD}\)
解得 \(OD = 2\)，所以点D的坐标为 \((2, 0)\)。
2. 再看点E：DE⊥CD，所以∠CDE=90°。
由∠CDO + ∠ADE = 90°，∠CDO + ∠OCD = 90°，得∠ADE=∠OCD。
又DE=CD，∠EAD=∠DOC=90°，所以△COD ≅ △DAE（AAS）。
由全等得：\(AD = OC = 2\sqrt{3}\)，\(AE = OD = 2\)
\(OA = OD + AD = 2 + 2\sqrt{3}\)，点E的横坐标为OA，纵坐标为AE，
所以点E的坐标为 \((2 + 2\sqrt{3}, 2)\)。
D(2, 0)，E(2+2√3, 2)
(Ⅱ) ① 用含t的式子表示S（重叠为四边形时）
△COD的面积： \[ S_{\triangle COD} = \dfrac{1}{2} \times OD \times OC = \dfrac{1}{2} \times 2 \times 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \] 平移后，△C’O’D’与△COD全等，面积仍为2√3。
重叠面积S，等于△C’O’D’的面积，减去两个小三角形的面积： \[ S = S_{\triangle C’O’D’} – S_{\triangle DMO’} – S_{\triangle DD’N} \]
1. 求\(S_{\triangle DMO’}\)：
OO’=t，所以O’D = OD – OO’ = 2 – t。
∠CDO=60°，在Rt△DMO’中，MO’ = O’D × tan60° = √3(2-t)。
\[
S_{\triangle DMO’} = \dfrac{1}{2} \times O’D \times MO’ = \dfrac{1}{2}(2-t)\cdot\sqrt{3}(2-t) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}(2-t)^2
\]
2. 求\(S_{\triangle DD’N}\)：
DD’=t，△C’O’D’≌△COD，∠C’D’O’=∠CDO=60°，又C’D’∥CD，CD⊥DE，所以C’D’⊥DE，∠D’DN=30°。
在Rt△DD’N中：
\[
ND’ = DD’ \times \cos60^\circ = t \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{t}{2}
\]
\[
DN = DD’ \times \cos30^\circ = t \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}t
\]
\[
S_{\triangle DD’N} = \dfrac{1}{2} \times ND’ \times DN = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{t}{2} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2}t = \dfrac{\sqrt{3}}{8}t^2
\]
3. 代入S的表达式： \[ S = 2\sqrt{3} – \dfrac{\sqrt{3}}{2}(2-t)^2 – \dfrac{\sqrt{3}}{8}t^2 \] 展开化简： \[ S = -\dfrac{5}{8}\sqrt{3}t^2 + 2\sqrt{3}t \] t的取值范围为\(0 < t < 2\)。
\[ S = -\dfrac{5\sqrt{3}}{8}t^2 + 2\sqrt{3}\,t \quad (0 < t < 2) \]
(Ⅱ) ② 当1≤t≤3时，求S的取值范围
1. 当1≤t<2时：
\(S = -\dfrac{5}{8}\sqrt{3}t^2 + 2\sqrt{3}t\)，这是开口向下的二次函数，对称轴为\(t = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{8}{5} = 1.6\)，在1≤t<2范围内。
\[
\text{当 } t=\dfrac{8}{5} \text{ 时，} S_{max} = \dfrac{8}{5}\sqrt{3}
\]
\[
\text{当 } t=1 \text{ 时，} S = -\dfrac{5}{8}\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = \dfrac{11}{8}\sqrt{3}
\]
\[
\text{当 } t=2 \text{ 时，} S = -\dfrac{5}{8}\sqrt{3}\times4 + 4\sqrt{3} = \dfrac{3}{2}\sqrt{3}
\]
2. 当2≤t≤3时：
重叠部分变为△C’NI，C’D’=CD=4，∠D’C’O’=30°，ND’=t/2，所以C’N=4 – t/2。
IN = C’N × tan30° = (√3/3)(4 – t/2)。
\[
S = \dfrac{1}{2} \times C’N \times IN = \dfrac{1}{2} \times \left(4-\dfrac{t}{2}\right) \times \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(4-\dfrac{t}{2}\right) = \dfrac{\sqrt{3}}{24}(t-8)^2
\]
开口向上，对称轴t=8，在2≤t≤3上单调递减：
\[
\text{当 } t=2 \text{ 时，} S = \dfrac{\sqrt{3}}{24}(6)^2 = \dfrac{3}{2}\sqrt{3}
\]
\[
\text{当 } t=3 \text{ 时，} S = \dfrac{\sqrt{3}}{24}(5)^2 = \dfrac{25}{24}\sqrt{3}
\]
综合两部分，S的取值范围为：
\[ \dfrac{25\sqrt{3}}{24} \le S \le \dfrac{8\sqrt{3}}{5} \]
