25年河西区一模24题
题目
在平面直角坐标系中，\(O\) 为原点，有四边形 \(OABC\)，顶点 \(A(6,0)\)，\(B(0,8)\)，\(C(-2\sqrt{5},4)\)。
(Ⅰ) 填空：\(AB\) 的长是______，\(BC\) 的长是______。
(Ⅱ) 点 \(M,N\) 分别为四边形 \(OABC\) 边上的动点，动点 \(M\) 从点 \(O\) 开始，以每秒1个单位长度的速度沿路线 \(O \to A \to B\) 向终点 \(B\) 匀速运动，动点 \(N\) 从 \(O\) 点开始，以每秒2个单位长度的速度沿路线 \(O \to C \to B \to A\) 向终点 \(A\) 匀速运动，点 \(M,N\) 同时从 \(O\) 点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动。设动点运动的时间为 \(t\) 秒（\(t>0\)），\(\triangle OMN\) 的面积为 \(S\)。
① 当 \(t=3\) 时，求 \(S\) 的值；
② 当点 \(M\) 在线段 \(OA\) 上，且点 \(N\) 在线段 \(BC\) 上时，试用含有 \(t\) 的式子表示 \(S\)，并直接写出 \(t\) 的取值范围。
(Ⅲ) 若 \(S=\dfrac{48}{5}\)，请直接写出此时 \(t\) 的值。（直接写出结果即可）
(Ⅰ) 求 \(AB\)、\(BC\) 的长度
1. 计算 \(AB\) 的长度
已知 \(A(6,0)\)，\(B(0,8)\)，由两点间距离公式：
\(AB = \sqrt{(6-0)^2 + (0-8)^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10\)
2. 计算 \(BC\) 的长度
已知 \(B(0,8)\)，\(C(-2\sqrt{5},4)\)，由两点间距离公式：
\(BC = \sqrt{(-2\sqrt{5}-0)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{20+16} = \sqrt{36} = 6\)
\(AB = 10,\quad BC = 6\)
(Ⅱ) ① 当 \(t=3\) 时，求 \(S\) 的值
1. 确定点 \(M\)、\(N\) 的位置
- 点 \(M\) 速度为1单位/秒，当 \(t=3\) 时，\(OM=3\)，故 \(M(3,0)\)。
- 点 \(N\) 速度为2单位/秒，\(OC = \sqrt{(-2\sqrt{5})^2 + 4^2} = 6\)，\(t=3\) 时 \(ON=6\)，故 \(N\) 到达点 \(C(-2\sqrt{5},4)\)。
2. 计算 \(\triangle OMN\) 的面积
以 \(OM\) 为底，长度为3，点 \(N\) 到 \(x\) 轴的距离（即纵坐标）为高，高为4：
\(S = \dfrac{1}{2} \times OM \times y_N = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\)
当 \(t=3\) 时，\(S=6\)
(Ⅱ) ② 点 \(M\) 在 \(OA\) 上，点 \(N\) 在 \(BC\) 上时，用 \(t\) 表示 \(S\) 并求 \(t\) 的范围
1. 确定 \(t\) 的取值范围
- 点 \(M\) 在 \(OA\) 上：\(0 < t \le 6\)。
- 点 \(N\) 在 \(BC\) 上：\(N\) 走完 \(OC=6\) 用时 \(6/2=3\) 秒，进入 \(BC\) 段；走完 \(BC=6\) 用时 \(6/2=3\) 秒，离开 \(BC\) 段。
故 \(t\) 的取值范围：\(3 \le t \le 6\)。
2. 求点 \(N\) 的纵坐标
设点 \(N\) 的纵坐标为 \(y\)，当点 \(N\) 在线段 \(BC\) 上时，\(BN=12-2t\)。 过点 \(N\) 作 \(NG \perp OB\) 于点 \(G\)，过点 \(C\) 作 \(CF \perp OB\) 于点 \(F\)，则 \(F(0,4)\)。 由 \(OF=4\)，\(OB=8\)，得 \(BF=8-4=4\)。 由 \(GN \parallel CF\)，得 \(\dfrac{BG}{BF} = \dfrac{BN}{BC}\)：
\(BG = \dfrac{BN \cdot BF}{BC} = \dfrac{4(12-2t)}{6} = 8 – \dfrac{4}{3}t\)
\(y = OB – BG = 8 – \left(8 – \dfrac{4}{3}t\right) = \dfrac{4}{3}t\)
3. 计算 \(\triangle OMN\) 的面积
点 \(M\) 在线段 \(OA\) 上，故 \(OM = t\)，以 \(OM\) 为底，\(y\) 为高：
\(S = \dfrac{1}{2} \times OM \times y = \dfrac{1}{2} \times t \times \dfrac{4}{3}t = \dfrac{2}{3}t^2\)
\(S = \dfrac{2}{3}t^2\)，其中 \(3 \le t \le 6\)
(Ⅲ) 若 \(S=\dfrac{48}{5}\)，直接写出此时 \(t\) 的值
阶段 1：\(3 < t \le 6\)，\(S = -\dfrac{2}{3}t^2 + 6t\)
代入 \(S=\dfrac{48}{5}\)：
\( -\dfrac{2}{3}t^2 + 6t = \dfrac{48}{5} \)
\( 10t^2 – 90t + 144 = 0 \implies 5t^2 – 45t + 72 = 0 \)
\( t = \dfrac{6\sqrt{10}}{5} \quad (\text{在区间 } 3 < t \le 6 \text{ 内，有效}) \)
阶段 2：\(6 < t < \dfrac{28}{3}\)，\(M,N\) 在 \(AB\) 上（相遇前）
\(O\) 到 \(AB\) 的距离 \(OF = \dfrac{24}{5}\)，\(MN = -3t + 28\)，面积公式：
\( S = \dfrac{1}{2} \cdot MN \cdot OF = \dfrac{1}{2}(-3t+28)\cdot\dfrac{24}{5} \)
\( \dfrac{12}{5}(-3t+28) = \dfrac{48}{5} \implies t = 8 \)
阶段 3：\(\dfrac{28}{3} < t \le 11\)，\(M,N\) 在 \(AB\) 上（相遇后）
\(MN = 3t-28\)，同理列方程：
\( \dfrac{12}{5}(3t-28) = \dfrac{48}{5} \implies t = \dfrac{32}{3} \)
最终结论
\( t = \dfrac{6\sqrt{10}}{5},\ t = 8,\ t = \dfrac{32}{3} \)
25年南开区一模24题
题目条件
将平行四边形纸片 \(OABC\) 放置在平面直角坐标系中，点 \(O(0,0)\)，点 \(A(0,9)\)，点 \(B,C\) 在第一象限，且 \(OC=2\sqrt{3}\)，\(\angle AOC=30^\circ\)。
(Ⅰ) 填空：点 \(C\) 的坐标为______，点 \(B\) 的坐标为______。
(Ⅱ) 若 \(P\) 为 \(y\) 轴的正半轴上一动点，过点 \(P\) 作直线 \(l \perp y\) 轴，沿直线 \(l\) 折叠该纸片，折叠后点 \(O\) 的对应点 \(O’\) 落在 \(y\) 轴的正半轴上，点 \(C\) 的对应点为 \(C’\)。设 \(OP=t\)。
① 若直线 \(l\) 与边 \(CB\) 相交于点 \(Q\)，当折叠后四边形 \(PO’C’Q\) 与 \(OABC\) 重叠部分为五边形时，\(O’C’\) 与 \(AB\) 相交于点 \(D\)。试用含有 \(t\) 的式子表示线段 \(O’D\) 的长，并直接写出 \(t\) 的取值范围；
② 设折叠后重叠部分的面积为 \(S\)，当 \(\dfrac{8}{3} < t < \dfrac{35}{4}\) 时，求 \(S\) 的取值范围（直接写出结果即可）。
(Ⅰ) 求点 \(C\) 和点 \(B\) 的坐标
1. 求点 \(C\) 的坐标
过点 \(C\) 作 \(CD \perp OA\) 交 \(OA\) 于点 \(D\)。
∵ 四边形 \(OABC\) 是平行四边形，\(OC=2\sqrt{3}\)，\(\angle AOC=30^\circ\)，\(A(0,9)\)，
\(CD = \dfrac{1}{2}OC = \sqrt{3}\)
\(OD = \sqrt{OC^2 – CD^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 – (\sqrt{3})^2} = 3\)
∴ 点 \(C\) 的坐标为 \((\sqrt{3}, 3)\)。
2. 求点 \(B\) 的坐标
∵ \(OA=CB=9\)，
点 \(B\) 的纵坐标：\(9 + 3 = 12\)，横坐标与 \(C\) 相同
∴ 点 \(B\) 的坐标为 \((\sqrt{3}, 12)\)。
\(C(\sqrt{3},3)\)，\(B(\sqrt{3},12)\)
(Ⅱ) ① 用含 \(t\) 的式子表示 \(O’D\) 的长，并写出 \(t\) 的取值范围
1. 分析折叠性质
∵ 沿直线 \(l\) 折叠，点 \(O\) 的对应点 \(O’\) 落在 \(y\) 轴上，
∴ \(O’P=OP=t\)，\(OO’=2OP=2t\)，\(\angle OO’C’ = \angle AOC=30^\circ\)。
∵ \(A(0,9)\)，\(OA=9\)，
\(AO’ = OO’ – OA = 2t – 9\)
∵ 四边形 \(OABC\) 为平行四边形，\(AB=OC=2\sqrt{3}\)，\(AB \parallel OC\)，
∴ \(\angle O’AB = \angle AOC=30^\circ\)，即 \(\angle O’AB = \angle AO’D=30^\circ\)。
2. 构造直角三角形求 \(O’D\)
过点 \(D\) 作 \(DH \perp AO’\) 于点 \(H\)，则：
\(O’H = \dfrac{AO’}{2} = \dfrac{2t-9}{2} = t – \dfrac{9}{2}\)
\(O’D = \dfrac{O’H}{\cos30^\circ} = \dfrac{t – \dfrac{9}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}t – 3\sqrt{3}\)
3. 确定 \(t\) 的取值范围
当 \(O’\) 与点 \(A\) 重合时，\(OP = \dfrac{1}{2}OA = \dfrac{9}{2}\)；
当 \(C’\) 与点 \(B\) 重合时，点 \(Q\) 为 \(BC\) 中点，则 \(OP = \dfrac{CB}{2} + 3 = \dfrac{15}{2}\)。
\(t\) 的取值范围：\(\dfrac{9}{2} < t < \dfrac{15}{2}\)
\(O’D = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}t – 3\sqrt{3}\)，\(\dfrac{9}{2} < t < \dfrac{15}{2}\)
(Ⅱ) ② 当 \(\dfrac{8}{3} < t < \dfrac{35}{4}\) 时，求 \(S\) 的取值范围
分区间讨论面积 \(S\)：
1. 当 \(\dfrac{8}{3} < t \le 3\) 时，重叠部分为三角形 \(S_{\triangle POQ}\)：
\(S = \dfrac{1}{2}t \times \dfrac{\sqrt{3}}{3}t = \dfrac{\sqrt{3}}{6}t^2\)，此时 \(\dfrac{32\sqrt{3}}{27} < S \le \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)
2. 当 \(3 < t \le \dfrac{9}{2}\) 时，重叠部分为梯形 \(S_{四边形POQC'}\)：
\(S = \sqrt{3}t – \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)，此时 \(\dfrac{3\sqrt{3}}{2} < S \le 3\sqrt{3}\)
3. 当 \(\dfrac{9}{2} < t < \dfrac{15}{2}\) 时，重叠部分为五边形，面积为二次函数：
\(S = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}t^2 + 4\sqrt{3}t – \dfrac{33\sqrt{3}}{4}\)，当 \(t=6\) 时，\(S\) 取最大值 \(\dfrac{15\sqrt{3}}{4}\)
4. 当 \(\dfrac{15}{2} \le t < \dfrac{35}{4}\) 时，重叠部分为梯形 \(S_{四边形APQB}\)：
\(S = -\sqrt{3}t + \dfrac{21\sqrt{3}}{2}\)，此时 \(\dfrac{7\sqrt{3}}{4} < S \le 3\sqrt{3}\)
综合所有区间，得 \(S\) 的取值范围：
\(\dfrac{32\sqrt{3}}{27} < S \le \dfrac{15\sqrt{3}}{4}\)
