桶的底面积为 \(2S_0\)，此时桶中水面高度为 \(H_1\)。

水对桶底的压强：

\(p = \rho_{\text{水}} g H_1\)

桶底所受水的压力：

\(F = p \cdot 2S_0 = 2\rho_{\text{水}} g S_0 H_1\)

① 状态1（石料在烧杯中漂浮）：总浮力 \(F_{\text{浮1}} = G_{\text{杯}} + G_{\text{石}}\)，排开水体积 \(V_{\text{排1}} = 2S_0 H_1\)。

② 状态2（石料沉底，烧杯漂浮）：总浮力 \(F_{\text{浮2}} = G_{\text{杯}} + \rho_{\text{水}} g V_{\text{石}}\)。

因为 \(\rho_{\text{石}} > \rho_{\text{水}}\)，所以 \(G_{\text{石}} > \rho_{\text{水}} g V_{\text{石}}\)，可得 \(F_{\text{浮1}} > F_{\text{浮2}}\)，即 \(V_{\text{排1}} > V_{\text{排2}}\)，水面高度 \(H_1 > H_2\)。

由液体压强公式 \(p = \rho_{\text{水}} g H\) 可知：

\(\boldsymbol{p_1 > p_2}\)

1. 求石料重力与质量

装有石料时：\(G_{\text{杯}} + G_{\text{石}} = \rho_{\text{水}} g S_0 h_1\)

取出石料后：\(G_{\text{杯}} = \rho_{\text{水}} g S_0 h_2\)

\(G_{\text{石}} = \rho_{\text{水}} g S_0 (h_1 – h_2)\)

\(m_{\text{石}} = \rho_{\text{水}} S_0 (h_1 – h_2)\)

2. 求石料体积

\(V_{\text{石}} = 2S_0 (H_1 – H_2)\)

3. 计算石料密度

\(\rho_{\text{石}} = \frac{m_{\text{石}}}{V_{\text{石}}} = \frac{(h_1 – h_2)}{2(H_1 – H_2)} \rho_{\text{水}}\)

(1) 桶底所受水的压力：\(2\rho_{\text{水}} g S_0 H_1\)

(2) 压强关系：\(p_1 > p_2\)

(3) 石料密度：\(\rho_{\text{石}} = \dfrac{(h_1 – h_2)}{2(H_1 – H_2)} \rho_{\text{水}}\)

答案：大于

解析：由图乙可知，当注入液体质量为 \(m_0\) 时，圆柱体A刚好浸没，但其对容器底部仍有压力（压强不为零）。说明此时 \(G_A > F_{\text{浮}}\)，根据浮沉条件可知，物体密度大于液体密度，即\(\rho_A > \rho_{\text{液}}\)。

1. 分析液体体积与深度：
注入质量为 \(m_0\) 的液体时，液体的有效底面积为 \(S_{\text{有效}} = 2S_0 – S_0 = S_0\)。
液体体积：\(V_{\text{液}} = S_0 \cdot h_{\text{液}}\)，且此时 \(V_{\text{排}} = V_A = S_0 \cdot h_{\text{液}}\)（A刚好浸没）。

2. 求A的重力 \(G_A\)：
由图知，未注入液体时 \(p_0 = \frac{G_A}{S_0}\)，所以：
\(G_A = p_0 S_0\)

3. 求A受到的浮力 \(F_{\text{浮}}\)：
液体质量 \(m_0 = \rho_{\text{液}} V_{\text{液}} = \rho_{\text{液}} S_0 h_{\text{液}}\)。
浮力 \(F_{\text{浮}} = \rho_{\text{液}} g V_{\text{排}} = \rho_{\text{液}} g S_0 h_{\text{液}}\)。
又因 \(G_A = p_0 S_0 = m_0 g\)（图像线性段斜率对应 \(mg\)），故 \(m_0 = \frac{p_0 S_0}{g}\)。
代入得：
\(F_{\text{浮}} = m_0 g\)

4. 受力分析求支持力 \(F_{\text{支}}\)：
圆柱体受重力、浮力、支持力平衡：\(G_A = F_{\text{浮}} + F_{\text{支}}\)。
\(F_{\text{支}} = G_A – F_{\text{浮}} = p_0 S_0 – m_0 g\)

1. 分析总液体重力：
注入 \(2m_0\) 液体后，总液体重力 \(G_{\text{总液}} = 2m_0 g\)。
容器底受到的压力等于液体重力加上圆柱体对液体的反作用力（即浮力）。
由图像知，\(m_0\) 对应浮力 \(m_0 g\)，\(2m_0\) 时浮力为 \(2m_0 g\)。
容器底总压力：
\(F_{\text{压}} = G_{\text{总液}} + F_{\text{浮}}’ = 2m_0 g + 2m_0 g = 4m_0 g\)

2. 计算液体对容器底的压强 \(p\)：
容器底面积 \(S = 2S_0\)。
\(p = \frac{F_{\text{压}}}{S} = \frac{4m_0 g}{2S_0} = \frac{2m_0 g}{S_0}\)

(1) A的密度：大于 液体密度

(2) 支持力：\(F_{\text{支}} = p_0 S_0 – m_0 g\)

(3) 液体对容器底压强：\(p = \dfrac{2m_0 g}{S_0}\)

杯子B漂浮，受到的浮力：

\(F_{\text{浮}}=G_B=2m_0g\)

杯子B下底面受到水的压强：

\(p=\dfrac{F_{\text{浮}}}{S_0}=\dfrac{2m_0g}{S_0}\)

由图像可知，当向B中加水质量为\(4m_0\)时，B外底面与A底部接触，此时B受到的浮力最大。

\(F_{\text{浮大}}=G_{\text{总}}=2m_0g+4m_0g=6m_0g\)

由图像可知，容器A的底面积：

\(S_A=\dfrac{m_0}{\rho_0h_0}\)

水对容器A底部压力的增加量：

\(\Delta F=5m_0g\)

水对容器A底部压强的增加量：

\(\Delta p=\dfrac{\Delta F}{S_A}=\dfrac{5m_0g}{\dfrac{m_0}{\rho_0h_0}}=5\rho_0gh_0\)

(1) 杯子B下底面受到水的压强：\(\boldsymbol{\dfrac{2m_0g}{S_0}}\)

(2) 杯子B受到的最大浮力：\(\boldsymbol{6m_0g}\)

(3) 水对容器A底部压强的增加量：\(\boldsymbol{5\rho_0gh_0}\)

1. 用电子秤测出陶瓷筷子架的质量，记为 \(m_0\)；
2. 向玻璃杯中加入适量水，用电子秤测出杯和水的总质量，记为 \(m_1\)；
3. 用细线系住陶瓷筷子架，将其缓慢浸没在水中（不触碰杯底和杯壁），待电子秤示数稳定后，记录此时示数为 \(m_2\)；
4. 将玻璃杯中的水倒出并擦干，向杯中加入适量独流醋，用电子秤测出杯和醋的总质量，记为 \(m_3\)；
5. 再次用细线系住陶瓷筷子架，将其缓慢浸没在醋中（不触碰杯底和杯壁），待电子秤示数稳定后，记录此时示数为 \(m_4\)。

① 筷子架浸没在水中时，电子秤增加的示数等于筷子架受到的浮力：

\(F_{\text{浮水}} = (m_2 – m_1)g = \rho_0 g V\)

可得筷子架的体积：

\(V = \frac{m_2 – m_1}{\rho_0}\)

② 筷子架浸没在醋中时，同理可得：

\(F_{\text{浮醋}} = (m_4 – m_3)g = \rho_{\text{醋}} g V\)

③ 将筷子架体积 \(V\) 代入，联立可得醋的密度：

\(\rho_{\text{醋}} = \frac{m_4 – m_3}{m_2 – m_1} \rho_0\)

(1) 实验步骤及测量量：见上述步骤，测量物理量为 \(m_0\)、\(m_1\)、\(m_2\)、\(m_3\)、\(m_4\)；

(2) 醋的密度表达式：\(\boldsymbol{\rho_{\text{醋}} = \dfrac{m_4 – m_3}{m_2 – m_1} \rho_0}\)

容器内水的体积为 \(V\)，底面积为 \(S\)，则水的深度：

\(h_{\text{水}} = \frac{V}{S}\)

根据液体压强公式，容器底受到的水的压强：

\(p = \rho g h_{\text{水}} = \frac{\rho g V}{S}\)

① 圆柱体A的受力图：

• 竖直向下的重力 \(G_A\)
• 竖直向上的浮力 \(F_{\text{浮}}\)
• 竖直向上的拉力 \(F_{\text{拉}}\)

② 求深度 \(h\)：

初始状态下，容器对水平地面的压力：

\(F_{\text{初}} = G_{\text{容器}} + G_{\text{水}} = mg + \rho V g\)

压强增大一倍后，容器对地面的压力：

\(F_{\text{末}} = 2F_{\text{初}} = 2(mg + \rho V g)\)

压力增加量等于圆柱体A受到的浮力（力的作用是相互的）：

\(\Delta F = F_{\text{末}} – F_{\text{初}} = mg + \rho V g = F_{\text{浮}}\)

根据阿基米德原理，浮力 \(F_{\text{浮}} = \rho g V_{\text{排}} = \rho g S_0 h\)，联立得：

\(\rho g S_0 h = mg + \rho V g\)

解得圆柱体A底部所处深度：

\(h = \frac{m + \rho V}{\rho S_0}\)

(1) 容器底受到的水的压强：\(p = \dfrac{\rho g V}{S}\)

(2) 圆柱体A底部所处深度：\(h = \dfrac{m + \rho V}{\rho S_0}\)

① 圆柱体的重力：

\(G = \rho_0 g S_0 h_0\)

② 对圆柱体受力分析：\(G = F + F_{\text{浮}}\)，则浮力：

\(F_{\text{浮}} = G – F = \rho_0 g S_0 h_0 – F\)

③ 由阿基米德原理 \(F_{\text{浮}} = \rho g V_{\text{排}} = \rho g S_0 h_{\text{液}}\)，联立得液体深度：

\(h_{\text{液}} = \frac{\rho_0 S_0 h_0 g – F}{\rho g S_0} = \frac{\rho_0 S_0 h_0}{ \rho S_0} – \frac{F}{\rho g S_0}\)

化简后：

\(h_{\text{液}} = \frac{\rho_0 h_0}{\rho} – \frac{F}{\rho g S_0}\)

① 当圆柱体对容器底压力最小时，浮力最大，分两种情况讨论：

• 若 \(\rho_0 ＜ \rho\)：圆柱体最终漂浮或悬浮，压力最小为 \(0\)，此时浮力 \(F_{\text{浮}} = G = \rho_0 g S_0 h_0\)，排开体积 \(V_{\text{排}} = \frac{\rho_0}{\rho} S_0 h_0\)，液体深度 \(h_{\text{液}} = \frac{\rho_0}{\rho} h_0\)。
  液体体积：\(V_{\text{液}} = (S – S_0) h_{\text{液}} = (S – S_0) \frac{\rho_0}{\rho} h_0\)，
  液体质量：

  \(m = \rho V_{\text{液}} = \rho_0 (S – S_0) h_0\)

• 若 \(\rho_0 ≥ \rho\)：圆柱体沉底，浮力最大为 \(F_{\text{浮}} = \rho g S_0 h_0\)，液体深度 \(h_{\text{液}} = h_0\)。
  液体体积：\(V_{\text{液}} = (S – S_0) h_0\)，
  液体质量：

  \(m = \rho V_{\text{液}} = \rho (S – S_0) h_0\)

② 综上，注入液体的最小总质量：

\(m_{\text{min}} = \begin{cases} \rho_0 (S – S_0) h_0 & (\rho_0 ＜ \rho) \\ \rho (S – S_0) h_0 & (\rho_0 ≥ \rho) \end{cases}\)

(1) 容器中液体的深度：\(h_{\text{液}} = \dfrac{\rho_0 h_0}{\rho} – \dfrac{F}{\rho g S_0}\)

(2) 注入液体的最小总质量：
当 \(\rho_0 ＜ \rho\) 时，\(m_{\text{min}} = \rho_0 (S – S_0) h_0\)；
当 \(\rho_0 ≥ \rho\) 时，\(m_{\text{min}} = \rho (S – S_0) h_0\)

① 浮沉子悬浮时，浮力等于自身重力：

\(F_{\text{浮}} = G = m g\)

② 容器底面积为 \(S\)，放入浮沉子后水深从 \(h_0\) 变为 \(h_1\)，排开水的体积：

\(V_{\text{排}} = S(h_1 – h_0)\)

③ 由阿基米德原理 \(F_{\text{浮}} = \rho_0 g V_{\text{排}}\)，联立得：

\(m g = \rho_0 g S(h_1 – h_0)\)

化简得浮沉子的质量：

\(m = \rho_0 S(h_1 – h_0)\)

① 浮沉子沉底且浸没时，总体积等于排开水的体积：

\(V = S(h_2 – h_0)\)

② 浮沉子的密度 \(\rho = \frac{m}{V}\)，将 \(m = \rho_0 S(h_1 – h_0)\) 和 \(V = S(h_2 – h_0)\) 代入：

\(\rho = \frac{\rho_0 S(h_1 – h_0)}{S(h_2 – h_0)} = \frac{h_1 – h_0}{h_2 – h_0} \rho_0\)

(1) 浮沉子的质量：\(m = \rho_0 S(h_1 – h_0)\)

(2) 浮沉子的密度：\(\rho = \dfrac{h_1 – h_0}{h_2 – h_0} \rho_0\)

由图乙可知，当注入液体质量≥m₀时，圆柱体A对容器底部的压强不再变化，说明A受到的浮力不再增大，但仍对容器底部有压力。

若A的密度≤液体密度，A会漂浮或悬浮，此时对底部的压力为0，与图像不符。

因此：A的密度大于液体密度。

① 未注入液体时，A对容器底部的压强为p₀，由压强公式：

\(G_A = p_0 S_0\)

② 注入质量为m₀的液体时，液体体积：

\(V_{\text{液}} = (2S_0 – S_0)h = S_0 h\)

\(m_0 = \rho_{\text{液}} V_{\text{液}} = \rho_{\text{液}} S_0 h\) → \(h = \frac{m_0}{\rho_{\text{液}} S_0}\)

③ 浮力：

\(F_{\text{浮}} = \rho_{\text{液}} g V_{\text{排}} = \rho_{\text{液}} g S_0 h = m_0 g\)

④ 对A受力分析，重力等于支持力加浮力：

\(G_A = F_{\text{支}} + F_{\text{浮}}\)

⑤ 代入得支持力：

\(F_{\text{支}} = p_0 S_0 – m_0 g\)

① 注入m₀时，液体高度：

\(h_1 = \frac{m_0}{\rho_{\text{液}} S_0}\)

② 再注入m₀液体，此时液体仅在A周围上升，底面积为2S₀，上升高度：

\(\Delta h = \frac{m_0}{\rho_{\text{液}} \cdot 2S_0}\)

③ 总液体高度：

\(h_{\text{总}} = h_1 + \Delta h = \frac{m_0}{\rho_{\text{液}} S_0} + \frac{m_0}{2\rho_{\text{液}} S_0} = \frac{3m_0}{2\rho_{\text{液}} S_0}\)

④ 液体对容器底的压强：

\(p_{\text{液}} = \rho_{\text{液}} g h_{\text{总}} = \rho_{\text{液}} g \cdot \frac{3m_0}{2\rho_{\text{液}} S_0} = \frac{3m_0 g}{2S_0}\)

(1) A的密度：大于液体密度

(2) 容器对A的支持力：\(F_{\text{支}} = p_0 S_0 – m_0 g\)

(3) 液体对容器底的压强：\(p_{\text{液}} = \dfrac{3m_0 g}{2S_0}\)

① 撤去细杆后，浮沉子漂浮，液面下降了 \(h_1\)，说明浮沉子露出液面的体积为：

\(V_{\text{露}} = S h_1\)

② 此时浮沉子排开液体的体积：

\(V_{\text{排}} = V – V_{\text{露}} = V – S h_1\)

③ 漂浮时浮力等于重力，由阿基米德原理：

\(G_{\text{浮沉子}} = F_{\text{浮}} = \rho_0 g V_{\text{排}}\)

④ 代入 \(V_{\text{排}} = V – S h_1\)，得浮沉子质量：

\(m_{\text{浮沉子}} = \frac{G_{\text{浮沉子}}}{g} = \rho_0 (V – S h_1)\)

① 浮沉子沉底后，液面又变化了 \(h_2\)，说明空心部分体积为：

\(V_{\text{空}} = S(h_1 + h_2)\)

② 浮沉子材料的体积：

\(V_{\text{材}} = V – V_{\text{空}} = V – S(h_1 + h_2)\)

③ 由密度公式 \(\rho = \frac{m}{V}\)，代入 \(m_{\text{浮沉子}} = \rho_0 (V – S h_1)\)：

\(\rho_{\text{材}} = \frac{m_{\text{浮沉子}}}{V_{\text{材}}} = \frac{\rho_0 (V – S h_1)}{V – S(h_1 + h_2)}\)

① 液体对容器底的压力

撤去细杆前，浮沉子被完全压入液体，排开体积为 \(V\)。
液体体积：\(V_{\text{液}} = \frac{m_1}{\rho_0}\)
此时液体总深度：

\(h = \frac{V_{\text{液}} + V}{S} = \frac{\frac{m_1}{\rho_0} + V}{S} = \frac{m_1 + \rho_0 V}{\rho_0 S}\)

液体对容器底的压强：

\(p = \rho_0 g h\)

液体对容器底的压力：

\(F_{\text{底}} = p S = \rho_0 g \cdot \frac{m_1 + \rho_0 V}{\rho_0 S} \cdot S = (m_1 + \rho_0 V)g\)

② 容器对桌面的压力

对浮沉子受力分析：\(G_{\text{浮沉子}} + F_{\text{压}} = F_{\text{浮}}\)，即 \(F_{\text{浮}} = F_{\text{压}} + G_{\text{浮沉子}}\)。
容器对桌面的压力等于总重力：

\(F_{\text{桌}} = G_{\text{容}} + G_{\text{液}} + G_{\text{浮沉子}} + F_{\text{压}}\)

代入 \(G_{\text{容}} = m_2 g\)、\(G_{\text{液}} = m_1 g\)、\(G_{\text{浮沉子}} + F_{\text{压}} = F_{\text{浮}} = \rho_0 g V\)：

\(F_{\text{桌}} = m_1 g + m_2 g + \rho_0 g V = (m_1 + m_2 + \rho_0 V)g\)

(1) 浮沉子的质量：\(m_{\text{浮沉子}} = \rho_0 (V – S h_1)\)

(2) 浮沉子材料的密度：\(\rho_{\text{材}} = \dfrac{\rho_0 (V – S h_1)}{V – S(h_1 + h_2)}\)

(3) 液体对容器底的压力：\(F_{\text{底}} = (m_1 + \rho_0 V)g\)；

容器对桌面的压力：\(F_{\text{桌}} = (m_1 + m_2 + \rho_0 V)g\)

选用器材：金手镯、电子秤、大玻璃杯、记号笔、刻度尺、细线、水

1. 用电子秤测出金手镯的质量，记为 m；
2. 在大玻璃杯中加入适量水，用记号笔在杯壁标记水面位置，用刻度尺测出此时水面到杯底的高度，记为 h₁；
3. 用细线系住金手镯，将其完全浸没在水中，待水面稳定后，用记号笔标记新的水面位置，再用刻度尺测出此时水面到杯底的高度，记为 h₂；
4. 用刻度尺测出大玻璃杯的内径，计算出底面积，记为 S（或直接测量杯底直径后计算）。

测量物理量总结：金手镯质量 \(m\)、初始水面高度 \(h₁\)、浸没后水面高度 \(h₂\)、玻璃杯底面积 \(S\)。

① 金手镯实心部分体积：

\(V_{\text{实}} = \frac{m}{\rho}\)

② 金手镯总体积（排开水的体积）：

\(V_{\text{总}} = S(h₂ – h₁)\)

③ 空心部分体积为总体积减去实心部分体积：

\(V_{\text{空}} = V_{\text{总}} – V_{\text{实}} = S(h₂ – h₁) – \frac{m}{\rho}\)

(1) 实验步骤：见上述步骤①~④，测量物理量：金手镯质量 \(m\)、初始水面高度 \(h₁\)、浸没后水面高度 \(h₂\)、玻璃杯底面积 \(S\)。

(2) 空心部分体积：\(V_{\text{空}} = S(h₂ – h₁) – \dfrac{m}{\rho}\)

已知设定：
容器底面积 \(3S_0\)，A、B底面积均为 \(S_0\)，高度均为 \(h_0\)。
\(\rho_A:\rho_B=2:5\)，\(\rho_B=\frac{4}{5}\rho_{\text{水}}\)，则 \(\rho_A=\frac{2}{5}\rho_B=\frac{8}{25}\rho_{\text{水}}\)。
\(G_A=\rho_A g S_0 h_0=\frac{8}{25}\rho_{\text{水}} g S_0 h_0\)，\(G_B=\rho_B g S_0 h_0=\frac{4}{5}\rho_{\text{水}} g S_0 h_0\)。

① B刚好无压力时处于漂浮状态，\(F_{\text{浮}B}=G_B\)。
即 \(\rho_{\text{水}} g S_0 h_1 = \rho_B g S_0 h_0\)，得注入水的高度：

\(h_1 = \frac{\rho_B}{\rho_{\text{水}}} h_0 = \frac{4}{5}h_0\)

② 注水体积为容器内水的实际体积，底面积取 \(3S_0-S_0=2S_0\)：

\(V_{\text{水1}} = 2S_0 \cdot \frac{4}{5}h_0 = \frac{8}{5}S_0 h_0\)

① A刚好浸没时，A、B总体积 \(V_{\text{排总}}=S_0 h_0 + S_0 h_0 = 2S_0 h_0\)，
总浮力 \(F_{\text{浮总}}=\rho_{\text{水}} g \cdot 2S_0 h_0\)。

② 整体受力平衡：\(F_{\text{浮总}} = G_A + G_B + F\)（\(F\)为细杆向下的压力）。
代入重力解得：

\(F = \frac{22}{25}\rho_{\text{水}} g S_0 h_0\)

③ 力传感器示数等于细杆的压力大小：

\(F_{\text{示}} = \frac{22}{25}\rho_{\text{水}} g S_0 h_0\)

① A刚好浸没时，总水面高度 \(h_{\text{总}} = h_0(\text{B高}) + h_0(\text{线长}) + h_0(\text{A高}) = 3h_0\)。

② 注入水的总体积为：

\(V_{\text{水2}} = (3S_0 – S_0)(h_0 – h_1) + (3S_0 – S_0)h_0 + 3S_0 h_0 = \frac{27}{5}S_0 h_0\)

③ 注入水的质量：

\(m_{\text{水}} = \rho_{\text{水}} V_{\text{水2}} = \frac{27}{5}\rho_{\text{水}} S_0 h_0\)

(1) 注入水的体积：\(V_{\text{水1}} = \dfrac{8}{5}S_0 h_0\)

(2) 力传感器示数：\(F_{\text{示}} = \dfrac{22}{25}\rho_{\text{水}} g S_0 h_0\)

(3) 注入水的质量：\(m_{\text{水}} = \dfrac{27}{5}\rho_{\text{水}} S_0 h_0\)

① 金属块的重力：

\(G = F_0 = \rho_0 g V_{\text{物}}\)

\(V_{\text{物}} = \frac{F_0}{\rho_0 g}\)

② 金属块浸没在液体中时，受力平衡：\(F + F_{\text{浮}} = G\)，
浮力 \(F_{\text{浮}} = F_0 – F\)，由阿基米德原理 \(F_{\text{浮}} = \rho_{\text{液}} g V_{\text{排}}\)，且浸没时 \(V_{\text{排}} = V_{\text{物}}\)，代入得：

\(F_0 – F = \rho_{\text{液}} g \cdot \frac{F_0}{\rho_0 g}\)

③ 化简得：

\(\rho_{\text{液}} = \rho_0 \cdot \frac{F_0 – F}{F_0}\)

① 由 \(\rho_{\text{液}} = \rho_0 \cdot \frac{F_0 – F}{F_0}\) 可知：
当 \(F = 0\ \text{N}\) 时，\(\rho_{\text{液1}} = \rho_0\)；
当 \(F = 1\ \text{N}\) 时，\(\rho_{\text{液2}} = \rho_0 \cdot \frac{F_0 – 1}{F_0}\)；
当 \(F = 2\ \text{N}\) 时，\(\rho_{\text{液3}} = \rho_0 \cdot \frac{F_0 – 2}{F_0}\)；
当 \(F = 3\ \text{N}\) 时，\(\rho_{\text{液4}} = \rho_0 \cdot \frac{F_0 – 3}{F_0}\)；
……

② 弹簧测力计刻度间隔 \(\Delta F = 1\ \text{N}\)，对应密度变化：

\(\Delta \rho_{\text{液}} = \frac{\rho_0}{F_0} \cdot \Delta F\)

③ 刻度分布特点：

• 刻度分布均匀；
• 刻度方向与弹簧测力计刻度相反（\(F\) 越小，\(\rho_{\text{液}}\) 越大）；
• 量程为 \(0 \sim \rho_0\)，\(F=F_0\) 对应 \(\rho_{\text{液}}=0\)，\(F=0\) 对应 \(\rho_{\text{液}}=\rho_0\)。

(1) 待测液体密度与测力计示数的关系式：\(\rho_{\text{液}} = \rho_0 \cdot \dfrac{F_0 – F}{F_0}\)

(2) 刻度分布特点：上大下小，分布均匀（或：刻度均匀，方向与测力计刻度相反，量程 \(0 \sim \rho_0\)）

① 浮箭的总重力：

\(G = m_0 g\)

② 浮箭对底面的压力等于自身重力，受力面积为浮块底面积 \(S_0\)，由压强公式 \(p = \frac{F}{S}\)：

\(p = \frac{G}{S_0} = \frac{m_0 g}{S_0}\)

① 浮箭刚刚浮起时，浮力等于重力：

\(F_{\text{浮}} = G_0 = m_0 g\)

② 由阿基米德原理 \(F_{\text{浮}} = \rho_{\text{水}} g V_{\text{排}}\)，得浮箭浸入水中的深度：

\(h_{\text{浸}} = \frac{F_{\text{浮}}}{\rho_{\text{水}} g S_0} = \frac{m_0 g}{\rho_{\text{水}} g S_0} = \frac{m_0}{\rho_{\text{水}} S_0}\)

③ 受水壶底面积为 \(3S_0\)，浮块底面积为 \(S_0\)，故水的实际体积：

\(V_{\text{水}} = (3S_0 – S_0)h_{\text{浸}} = 2S_0 \cdot \frac{m_0}{\rho_{\text{水}} S_0} = \frac{2m_0}{\rho_{\text{水}}}\)

④ 滴水的质量：

\(m_{\text{水}} = \rho_{\text{水}} V_{\text{水}} = 2m_0\)

① 标尺每格长度为 \(\frac{m_0}{\rho_{\text{水}} S_0}\)，从A到E共4格，故总水位上升高度：

\(\Delta h = 4 \cdot \frac{m_0}{\rho_{\text{水}} S_0} = \frac{4m_0}{\rho_{\text{水}} S_0}\)

② 总需水量：

\(m_{\text{总}} = \rho_{\text{水}} \cdot 3S_0 \cdot \Delta h = \rho_{\text{水}} \cdot 3S_0 \cdot \frac{4m_0}{\rho_{\text{水}} S_0} = 12m_0\)

③ 因滴水匀速，时间与质量成正比：\(t_1\) 对应 \(2m_0\)，\(t_1+t_2\) 对应 \(12m_0\)，故 \(t_2 = 6t_1\)。

④ 此时总水深为 \(5h_{\text{浸}} = \frac{5m_0}{\rho_{\text{水}} S_0}\)，水对受水壶底部的压强：

\(p = \rho_{\text{水}} g \cdot \frac{5m_0}{\rho_{\text{水}} S_0} = \frac{5m_0 g}{S_0}\)

(1) 浮箭对底面的压强：\(\dfrac{m_0 g}{S_0}\)

(2) \(t_1\) 时间内滴水的质量：\(2m_0\)

(3) \(t_2 = \) 6 \(t_1\)；水对受水壶底部的压强：\(\dfrac{5m_0 g}{S_0}\)

实验步骤：

1. 用天平和烧杯称出适量质量为 \(m_1\) 的水，倒入大试管中；
2. 取适量沙装入小试管中，用天平称其总质量为 \(m_2\)，使 \(m_2 > m_1\)；
3. 将盛有沙的小试管放入大试管中，观察小试管是否漂浮。若不漂浮，在保证 \(m_2 > m_1\) 的条件下，调节水及沙的多少，使小试管漂浮在大试管中。

实验结论：
小试管漂浮时所受浮力 \(F = m_2 g > m_1 g\)，说明质量较小的一盆水能够浮起质量较大的缸。

物理模型与符号设定：
缸：底面积 \(S_{\text{缸}}\)、底直径 \(d\)、质量 \(M\)；
窖：底面积 \(S_{\text{窖}}\)、底直径 \(D\)；
水密度 \(\rho\)，缸刚好浮起时水高度 \(h\)。

① 缸刚好浮起时，浮力等于重力：

\(F_{\text{向上}} = \rho g h S_{\text{缸}} = Mg\)

\(h = \frac{M}{\rho S_{\text{缸}}}\)

② 倒入水的质量：

\(m_{\text{水}} = \rho (S_{\text{窖}} – S_{\text{缸}}) h\)

\(m_{\text{水}} = \frac{(S_{\text{窖}} – S_{\text{缸}})M}{S_{\text{缸}}}\)

③ 代入底面积公式 \(S_{\text{缸}} = \frac{\pi d^2}{4}\)、\(S_{\text{窖}} = \frac{\pi D^2}{4}\)：

\(m_{\text{水}} = \frac{(D^2 – d^2)M}{d^2}\)

④ 要使 \(m_{\text{水}} < M\)，则：

\(\frac{D^2 – d^2}{d^2} < 1\)

\(D < d\sqrt{2}\)

已知 \(D = 1.02d\)，代入水质量公式：

\(\frac{m_{\text{水}}}{M} = \frac{(1.02d)^2 – d^2}{d^2} = (1.02)^2 – 1 \approx 0.0404\)

\(4.04\%\)

① 切去露出部分后，浮力变化量 \(\Delta F_{\text{浮}} = \Delta m g\)，水对容器底压力变化量 \(\Delta F_{\text{压1}} = \Delta F_{\text{浮}}\)，

\(\Delta p_{\text{水}} = \frac{\Delta F_{\text{压1}}}{S} = \frac{\Delta m g}{S}\)

② 容器对桌面压力变化量 \(\Delta F_{\text{压2}} = \Delta m g\)，

\(\Delta p_{\text{桌}} = \frac{\Delta F_{\text{压2}}}{S} = \frac{\Delta m g}{S}\)

③ 压强变化量之比：

\(\Delta p_{\text{水}}: \Delta p_{\text{桌}} = 1:1\)

【实验探究】验证了少量水可浮起更重的物体；

【理论探究】窖底直径需满足：\(D < d\sqrt{2}\)；

【实际应用】水质量占缸质量的：4.04%；

【拓展研究】压强变化量之比：1:1。

1. 在量筒中放入适量的水，读出此时量筒中水的体积为 \(V_0\)；
2. 将两个烧杯分别放在调好的天平两端，把矿石放在其中一个烧杯中；
3. 将量筒中的水倒入另一烧杯中，用胶头滴管进行调节直到天平再次平衡，读出此时量筒中水的体积为 \(V_1\)；
4. 将石块缓慢浸没在量筒中，读出此时量筒中水的体积为 \(V_2\)。

① 矿石的质量等于烧杯中水的质量：

\(m = \rho_0 (V_0 – V_1)\)

② 矿石的体积等于排开水的体积：

\(V = V_2 – V_1\)

③ 由密度公式 \(\rho = \frac{m}{V}\)，代入得矿石密度：

\(\rho = \frac{V_0 – V_1}{V_2 – V_1} \rho_0\)

(1) 实验步骤：见上述步骤①~④，测量物理量：\(V_0\)、\(V_1\)、\(V_2\)。

(2) 矿石密度表达式：\(\rho = \dfrac{V_0 – V_1}{V_2 – V_1} \rho_0\)

当容器中水的深度为 \(\frac{2}{3}h\) 时，杯子对容器底部压力为零，此时浮力等于杯子重力：

\(F_{\text{浮}} = G_{\text{杯}}\)

浮力 \(F_{\text{浮}} = \rho_0 g V_{\text{排}} = \rho_0 g S_0 \cdot \frac{2}{3}h\)，重力 \(G_{\text{杯}} = m_{\text{杯}} g\)，联立得：

\(m_{\text{杯}} = \frac{2}{3}\rho_0 S_0 h\)

当杯口与容器水面相平时，杯中水为容积的一半，此时浮力仍等于杯子总重力（杯子+杯内水）：

\(\rho_0 g S_0 h = m_{\text{杯}} g + \rho_0 g \cdot \frac{1}{2}V_{\text{杯容}}\)

代入 \(m_{\text{杯}} = \frac{2}{3}\rho_0 S_0 h\)，解得杯子容积：

\(V_{\text{杯容}} = \frac{2}{3}S_0 h\)

杯子材料体积 \(V_{\text{材}} = S_0 h – V_{\text{杯容}} = \frac{1}{3}S_0 h\)，材料密度：

\(\rho_{\text{材}} = \frac{m_{\text{杯}}}{V_{\text{材}}} = \frac{\frac{2}{3}\rho_0 S_0 h}{\frac{1}{3}S_0 h} = 2\rho_0\)

杯子注满水后，总重力：

\(G_{\text{总}} = m_{\text{杯}} g + \rho_0 g V_{\text{杯容}} = \frac{2}{3}\rho_0 S_0 h g + \rho_0 g \cdot \frac{2}{3}S_0 h = \frac{4}{3}\rho_0 S_0 h g\)

此时浮力 \(F_{\text{浮}}’ = \rho_0 g S_0 h\)，容器底部对杯子的支持力：

\(F_{\text{支}} = G_{\text{总}} – F_{\text{浮}}’ = \frac{4}{3}\rho_0 S_0 h g – \rho_0 S_0 h g = \frac{1}{3}\rho_0 S_0 h g\)

杯子对容器底部的压力等于支持力，压强：

\(p = \frac{F_{\text{支}}}{S_0} = \frac{1}{3}\rho_0 g h\)

(1) 空杯子的质量：\(m_{\text{杯}} = \dfrac{2}{3}\rho_0 S_0 h\)

(2) 杯子材料的密度：\(\rho_{\text{材}} = 2\rho_0\)

(3) 注满水后杯子对容器底部的压强：\(p = \dfrac{1}{3}\rho_0 g h\)

实验器材：小网兜（不计质量和体积）、实心木球、与木球体积相等的实心铁球、装水的烧杯、弹簧测力计。

实验步骤：

① 用弹簧测力计测出实心木球的重力，记为 \(G_{\text{木}}\)；

② 用弹簧测力计测出实心铁球的重力，记为 \(G_{\text{铁}}\)；

③ 将铁球用网兜装好，浸没在水中，读出弹簧测力计示数，记为 \(F_{\text{示}}\)。

需要测量的物理量：木球重力 \(G_{\text{木}}\)、铁球重力 \(G_{\text{铁}}\)、铁球浸没水中时测力计示数 \(F_{\text{示}}\)。

根据阿基米德原理，铁球浸没时受到的浮力：

\(F_{\text{浮}} = G_{\text{铁}} – F_{\text{示}} = \rho_{\text{水}} g V_{\text{铁}}\)

已知木球与铁球体积相等，即 \(V_{\text{木}} = V_{\text{铁}}\)，可得木球体积：

\(V_{\text{木}} = \dfrac{G_{\text{铁}} – F_{\text{示}}}{\rho_{\text{水}} g}\)

木球的质量：

\(m_{\text{木}} = \dfrac{G_{\text{木}}}{g}\)

联立可得木球密度：

\(\rho_{\text{木}} = \dfrac{G_{\text{木}}}{G_{\text{铁}} – F_{\text{示}}} \cdot \rho_{\text{水}}\)

(1) 测量物理量：\(G_{\text{木}}\)、\(G_{\text{铁}}\)、\(F_{\text{示}}\)，步骤见上文；

(2) 实心木球密度：\(\rho_{\text{木}} = \dfrac{G_{\text{木}}}{G_{\text{铁}} – F_{\text{示}}} \cdot \rho_{\text{水}}\)

木块对底部压力为0时，浮力等于木块重力：

\(F_{\text{浮}} = G_{\text{木}}\)

木块重力：\(G_{\text{木}} = m_{\text{木}}g = \rho_{\text{木}} S_0 h_0 g = \frac{1}{2}\rho_{\text{水}} S_0 h_0 g\)
浮力：\(F_{\text{浮}} = \rho_{\text{水}} g V_{\text{排}} = \rho_{\text{水}} g S_0 h_{\text{浸}}\)

联立得：

\(\rho_{\text{水}} g S_0 h_{\text{浸}} = \frac{1}{2}\rho_{\text{水}} S_0 h_0 g\)

解得浸入深度：\(h_{\text{浸}} = \frac{1}{2}h_0\)
此时注入水的深度等于木块浸入深度，即：

\(h = \frac{1}{2}h_0\)

当水面与木块上方相平时，木块完全浸没，此时浮力最大，细线拉力也最大：
完全浸没时浮力：\(F_{\text{浮max}} = \rho_{\text{水}} g V_{\text{木}} = \rho_{\text{水}} g S_0 h_0\)
木块重力：\(G_{\text{木}} = \frac{1}{2}\rho_{\text{水}} S_0 h_0 g\)

受力平衡：\(F_{\text{浮max}} = G_{\text{木}} + F_{\text{拉max}}\)
代入得：

\(F_{\text{拉max}} = \rho_{\text{水}} g S_0 h_0 – \frac{1}{2}\rho_{\text{水}} g S_0 h_0 = \frac{1}{2}\rho_{\text{水}} g S_0 h_0\)

图像分为三个阶段：

1. 阶段1（\(0 \sim \frac{1}{2}h_0\)）：浮力随注水深度线性增大，直到浮力等于木块重力（压力为0），斜率为 \(\rho_{\text{水}} g S_0\)。
2. 阶段2（\(\frac{1}{2}h_0 \sim L_0 + \frac{1}{2}h_0\)）：浮力保持不变（等于木块重力），木块上浮，细线逐渐拉直。
3. 阶段3（\(L_0 + \frac{1}{2}h_0 \sim L_0 + h_0\)）：浮力随注水深度线性增大，直到木块完全浸没，斜率仍为 \(\rho_{\text{水}} g S_0\)。

图像特征：先线性上升→水平线段→再线性上升，最终浮力为 \(\rho_{\text{水}} g S_0 h_0\)。

(1) 注入水的深度：\(h = \dfrac{1}{2}h_0\)

(2) 细线最大拉力：\(F_{\text{拉max}} = \dfrac{1}{2}\rho_{\text{水}} g S_0 h_0\)

(3) 浮力-深度图像：先线性上升至 \(G_{\text{木}}\)，保持不变，再线性上升至 \(\rho_{\text{水}} g S_0 h_0\)。