(2) 求滑动变阻器阻值的变化范围

① 电路最大电流受灯泡额定电流和电流表量程限制：

\[ I_{\text{额}} = \dfrac{P_{\text{额}}}{U_{\text{额}}} = \dfrac{1.5\,\text{W}}{3.0\,\text{V}} = 0.5\,\text{A} < 0.6\,\text{A} \]

因此电路允许的最大电流 \(I_{\max}=0.5\,\text{A}\)，此时滑动变阻器阻值最小。

\[ R_{\text{总}} = \dfrac{U}{I_{\max}} = \dfrac{4.5\,\text{V}}{0.5\,\text{A}} = 9\,\Omega \] \[ R_{\min} = R_{\text{总}} – R_L = 9\,\Omega – 6\,\Omega = 3\,\Omega \]

② 电压表量程为 0~3V，滑动变阻器两端电压最大为 \(U_R=3\,\text{V}\)，此时灯泡两端电压：

\[ U_L = U – U_R = 4.5\,\text{V} – 3\,\text{V} = 1.5\,\text{V} \]

电路电流：

\[ I = \dfrac{U_L}{R_L} = \dfrac{1.5\,\text{V}}{6\,\Omega} = 0.25\,\text{A} \]

此时滑动变阻器阻值最大：

\[ R_{\max} = \dfrac{U_R}{I} = \dfrac{3\,\text{V}}{0.25\,\text{A}} = 12\,\Omega \]

第(2)问答案：\(\boldsymbol{3\,\Omega \le R \le 12\,\Omega}\)

(2) 鸡蛋密度表达式推导

密度计在水中漂浮时，浮力等于自身重力：

\[ F_{\text{浮水}} = G = \rho_{\text{水}}gSh_1 \]

密度计在盐水中仍漂浮，浮力大小不变：

\[ F_{\text{浮盐}} = G = \rho_{\text{盐水}}gSh_2 \]

联立两式，可得盐水密度：

\[ \rho_{\text{盐水}} = \frac{h_1}{h_2}\rho_{\text{水}} \]

鸡蛋在盐水中悬浮，根据悬浮条件，鸡蛋密度等于盐水密度：

\[ \rho_{\text{鸡蛋}} = \rho_{\text{盐水}} = \frac{h_1}{h_2}\rho_{\text{水}} \]

第(2)问答案：\(\boldsymbol{\rho_{\text{鸡蛋}} = \dfrac{h_1}{h_2}\rho_{\text{水}}}\)

情况2：并联结构（开关控制其中一条支路）

① 开关 \(S\) 闭合时：两个电阻并联，电路总电阻为 \(\dfrac{R}{2}\)，干路电流为：

\[ I_1 = \frac{U}{R} + \frac{U}{R} = \frac{4}{R} + \frac{4}{R} = \frac{8}{R} \]

② 开关 \(S\) 断开时：只有一个电阻接入电路，电流为：

\[ I_2 = \frac{U}{R} = \frac{4}{R} \]

③ 电流减少量为 \(0.5\,\text{A}\)，故：

\[ I_1 – I_2 = \frac{8}{R} – \frac{4}{R} = 0.5\,\text{A} \] \[ \frac{4}{R} = 0.5 \implies R = 8\,\Omega \]

情况2答案：\(\boldsymbol{R=8\,\Omega}\)

【方案二】

①将小桶放入盛有水的容器中，使小桶漂浮在水面上，记下水面在小桶上对应的位置A；

②取出不锈钢小桶，擦干，缓慢放入盛有酱油的容器中，向小桶中加入适量的水，直到小桶外的液面至小桶上对应的位置A；

③取出不锈钢小桶，擦干，用电子秤测出小桶和桶内水的总质量为\(m_3\)。

两次排开液体的体积相同，由漂浮条件\(F_{\text{浮}}=G\)和阿基米德原理\(F_{\text{浮}}=\rho_{\text{液}}gV_{\text{排}}\)得：

\[ m_0 g = \rho_0 g V_{\text{排}},\quad m_3 g = \rho_{\text{酱油}} g V_{\text{排}} \] \[ \frac{m_0}{\rho_0} = \frac{m_3}{\rho_{\text{酱油}}} \]

方案二答案：\(\boldsymbol{\rho_{\text{酱油}} = \dfrac{m_3}{m_0}\rho_0}\)

【数据分析】（电流表方案）

滑片在B端（最高水位）时，滑动变阻器接入电阻为0，电流为最大值\(I_m\)，此时电源电压全部加在定值电阻\(R_0\)上：

\[ U = I_m R_0 \implies R_0 = \frac{U}{I_m} \]

滑片在A端（最低水位）时，滑动变阻器接入最大电阻\(R_m\)，电流为\(\dfrac{1}{3}I_m\)：

\[ \frac{U}{R_0 + R_m} = \frac{1}{3}I_m \] \[ \frac{U}{\frac{U}{I_m} + R_m} = \frac{1}{3}I_m \implies R_m = \frac{2U}{I_m} \]

定值电阻：\(\boldsymbol{R_0 = \dfrac{U}{I_m}}\)；滑动变阻器最大电阻：\(\boldsymbol{R_m = \dfrac{2U}{I_m}}\)

(2) 铝箔厚度表达式推导

铝箔浸没水中时，排开水的质量为：

\[ m_{\text{排}} = m_2 – m_1 \]

根据阿基米德原理，铝箔的体积等于排开水的体积：

\[ V = V_{\text{排}} = \frac{m_{\text{排}}}{\rho_0} = \frac{m_2 – m_1}{\rho_0} \]

铝箔体积也满足\(V = abd\)（\(d\)为厚度），联立可得：

\[ abd = \frac{m_2 – m_1}{\rho_0} \implies d = \frac{m_2 – m_1}{\rho_0 ab} \]

铝箔厚度表达式：\(\boldsymbol{d = \dfrac{m_2 – m_1}{\rho_0 ab}}\)

(2) 求\(I_1:I_2\)

灯泡正常发光时：\(U_1=6V\)，\(I_1=\dfrac{P_{\text{额}}}{U_{\text{额}}}=\dfrac{3W}{6V}=0.5A\)，灯泡电阻\(R_L=\dfrac{U_{\text{额}}}{I_1}=12\Omega\)。

由\(U_1:U_2=4:3\)，得\(U_2=4.5V\)，此时电流\(I_2=\dfrac{U_2}{R_L}=\dfrac{4.5V}{12\Omega}=0.375A\)。

电流比：\(\boldsymbol{I_1:I_2=4:3}\)

(2) 实验步骤

① 按电路图连接电路，开关断开，滑动变阻器滑片移到最大阻值处；

② 闭合开关，用电压表测出镍铬合金丝两端的电压，记为\(U_1\)；

③ 将滑动变阻器滑片移到最小阻值处（0Ω），读出此时电压表的示数，记为\(U_2\)（此时\(U_2\)等于电源电压）。

(2) 鱼饵被吃掉后，浸没浮子的数量

先计算鱼饵在水底时，钓具对浮漂的拉力：鱼饵的重力\(G_{\text{饵}}=mg=1.5\times10^{-3}\,\text{kg} \times 10\,\text{N/kg}=0.015\,\text{N}\)，浮力\(F_{\text{浮饵}}=\rho_{\text{水}}gV_{\text{饵}}=0.01\,\text{N}\)，所以拉力\(F_{\text{拉}}=G_{\text{饵}}-F_{\text{浮饵}}=0.005\,\text{N}\)。

钓具（鱼钩+铅坠）的重力\(G_{\text{钩+铅}}=(4\times10^{-4}+9\times10^{-4})\,\text{kg} \times 10\,\text{N/kg}=0.013\,\text{N}\)，总拉力\(F_{\text{拉总}}=0.005\,\text{N}+0.013\,\text{N}=0.018\,\text{N}\)。

鱼饵被吃掉后，拉力变为\(F_{\text{拉}}’=0.013\,\text{N}\)，减少的浮力等于减少的拉力：\(\Delta F_{\text{浮}}=0.005\,\text{N}\)。单个浮子的浮力为\(0.008\,\text{N}\)，减少的浸没浮子数：\(\Delta n = \frac{0.005}{0.008} \approx 1\)，所以浸没浮子数为\(4-1=3\)颗。

浸没浮子数：\(\boldsymbol{3}\)颗

【方案二】（弹簧测力计法）

器材：小瓷杯、水、细线、大烧杯、弹簧测力计

实验步骤：

① 测量小瓷杯的重力\(G\)；

② 用弹簧测力计吊着小瓷杯，将其浸没在水中，读出测力计示数\(F\)。

推导：浮力\(F_{\text{浮}} = G – F = \rho_0 g V\)，体积\(V = \dfrac{G – F}{\rho_0 g}\)，质量\(m = \dfrac{G}{g}\)。

密度表达式：\(\boldsymbol{\rho = \dfrac{G}{G – F} \rho_0}\)

(2) 电子秤的最大测量值

当电压表示数最大为\(\dfrac{1}{2}U_0\)时，电流\(I_{\text{max}}=\dfrac{U_0}{2R_0}\)，此时总电阻\(R_{\text{总}}’=\dfrac{U_0}{I_{\text{max}}}=2R_0\)，滑动变阻器接入电阻为0，滑片在C端，浮筒下降\(\dfrac{1}{2}h_0\)。

设浮筒浸入深度增加\(\Delta h\)，由容器底面积\(2S_0\)、浮筒底面积\(S_0\)，液面上升\(\dfrac{\Delta h}{2}\)，则\(\Delta h + \dfrac{\Delta h}{2} = \dfrac{1}{2}h_0\)，解得\(\Delta h=\dfrac{1}{3}h_0\)。

浮筒排开水的体积变化\(\Delta V = S_0 \cdot \Delta h = \dfrac{1}{3}S_0h_0\)，浮力变化\(\Delta F = \rho_0 g \Delta V = \dfrac{1}{3}\rho_0 g S_0 h_0\)，等于最大物重。

最大测量值：\(\boldsymbol{\dfrac{1}{3}\rho_0 S_0 h_0}\)

(2) 牛奶密度表达式推导

同一支吸管在两种液体中均漂浮，浮力等于重力，因此浮力相等：

\[ \rho_0 g S h_1 = \rho_{\text{牛奶}} g S h_2 \]

约去\(g\)和横截面积\(S\)，整理得：

\[ \rho_{\text{牛奶}} = \frac{h_1}{h_2} \rho_0 \]

牛奶密度表达式：\(\boldsymbol{\rho_{\text{牛奶}} = \dfrac{h_1}{h_2} \rho_0}\)

(2) B空心部分的体积

B浸没时，排开水的体积\(V_{排B}=9V_0\)，B中充水的体积\(V_{水}\)，浮力\(F_{浮B}=\rho_0gV_{排B}=\rho_0g\cdot9V_0\)。结合(1)中\(F_{浮B}=m_0g + \rho_0gV_0\)，得：

\[ 9\rho_0gV_0 = m_0g + \rho_0gV_0 \implies V_{水} = 8V_0 – \frac{m_0}{\rho_0} \]

B的总体积为\(9V_0\)，实心部分体积\(V_{实}=\dfrac{m_0}{\rho_B}\)，但由题意，空心体积\(V_{空}=V_{水} = 8V_0 – \dfrac{m_0}{\rho_0}\)（或直接由充水体积得）。

B空心体积：\(\boldsymbol{8V_0 – \dfrac{m_0}{\rho_0}}\)

(2) 金属块密度表达式推导

步骤②中天平平衡，说明金属块的质量等于左盘烧杯中增加水的质量：\(m = \rho_0 V_1\)。

步骤③中金属块排开水的体积等于金属块的体积：\(V = V_2\)。

\[ \rho_{\text{金属}} = \frac{m}{V} = \frac{\rho_0 V_1}{V_2} \]

金属块密度表达式：\(\boldsymbol{\rho_{\text{金属}} = \dfrac{V_1}{V_2} \rho_0}\)

(2) 电阻\(R\)的阻值

将\(U_0=1.5\,\text{V}\)代入方程：

\[ 1.5 = 1.35 + 0.15R \implies R=1\,\Omega \]

电阻\(R\)的阻值：\(\boldsymbol{1\,\Omega}\)

(2) 实验步骤及测量物理量

① 按电路图连接电路，开关断开，滑动变阻器滑片移到最大阻值处；

② 将单刀双掷开关接小灯泡，闭合开关，调节滑动变阻器，使电压表示数为小灯泡的额定电压\(U_0=2.5V\)；

③ 保持滑动变阻器滑片位置不变，将单刀双掷开关接电阻箱，调节电阻箱的阻值，使电压表示数仍为\(2.5V\)，读出此时电阻箱的阻值\(R\)。

(2) 小球个数\(n\)的表达式

B容器漂浮时，浮力等于总重力：\(F_{浮B} = mg + \rho n V g\)。B排开水的体积为：\(V_{排B} = S h\)，且容器A中水面上升导致B排开的水体积变化。最终推导得：

\[ n = \frac{m + \rho_水 S H}{(\rho_水 – \rho) V} \]

小球个数表达式：\(\boldsymbol{n = \dfrac{m + \rho_水 S H}{(\rho_水 – \rho) V}}\)

(2) 木块密度表达式推导

木块漂浮时，浮力等于重力：\(G_{\text{木}} = F_{\text{浮}} = \rho_{\text{水}}g(V_2 – V_1)\)，因此木块质量\(m_{\text{木}} = \rho_{\text{水}}(V_2 – V_1)\)。

木块的体积：\(V_{\text{木}} = V_3 – V_4\)。

\[ \rho_{\text{木}} = \frac{m_{\text{木}}}{V_{\text{木}}} = \frac{V_2 – V_1}{V_3 – V_4} \rho_{\text{水}} \]

木块密度表达式：\(\boldsymbol{\rho_{\text{木}} = \dfrac{V_2 – V_1}{V_3 – V_4} \rho_{\text{水}}}\)

(2) \(R_s\)调小时的设定温度及最大阻值

当\(R_s\)调小时，控制电路总电阻减小，电流更容易达到\(0.02A\)，因此压缩机在更高的温度就会启动，设定温度变**高**。

当温度为\(30^\circ C\)时，由图乙可知\(R_t=50\,\Omega\)，此时电路总电阻\(R_{\text{总}}=\dfrac{U_1}{I}=\dfrac{12V}{0.02A}=600\,\Omega\)，因此\(R_s=R_{\text{总}}-R_t=600\,\Omega-50\,\Omega=550\,\Omega\)。

设定温度变高；\(R_s\)最大阻值：\(550\,\Omega\)