25年河西区一模17题
题目条件
已知：\(\triangle ABC\) 是等腰直角三角形，\(AB=AC\)，\(\angle BAC=90^\circ\)，\(CD\) 平分 \(\angle ACB\)，\(BE \perp CD\) 于 \(E\)，\(AD=1\)。
(1) 求 \(AC\) 的长；
(2) 求 \(BE^2\) 的值。
(1) 求 \(AC\) 的长
延长 \(BE\) 交 \(CA\) 延长线于点 \(F\)。
- \(\because CD\) 平分 \(\angle ACB\)，且 \(BE \perp CD\)， \(\therefore \triangle BCE \cong \triangle FCE\)（ASA），得 \(BC = CF\)。
- 易证 \(\triangle ACD \cong \triangle ABF\)（ASA），得 \(AD = AF = 1\)。
设 \(AC = AB = x\)，则：
\(BC = \sqrt{2}x,\quad CF = x + 1\)
由 \(BC = CF\) 列方程：
\(\sqrt{2}x = x + 1\)
解得：
\(AC = x = \sqrt{2} + 1\)
(2) 求 \(BE^2\) 的值
在 \(Rt\triangle ACD\) 中，由勾股定理：
\(CD^2 = AC^2 + AD^2 = (\sqrt{2} + 1)^2 + 1^2 = 4 + 2\sqrt{2}\)
由 \(\triangle BCE \cong \triangle FCE\) 可知，\(E\) 为 \(BF\) 中点，故：
\(BE = \dfrac{1}{2}BF\)
又由 \(\triangle ACD \cong \triangle ABF\)，得 \(BF = CD\)，因此：
\(BE = \dfrac{1}{2}CD\)
两边平方得：
\(BE^2 = \dfrac{1}{4}CD^2\)
代入 \(CD^2 = 4 + 2\sqrt{2}\)：
\(BE^2 = \dfrac{1}{4}(4 + 2\sqrt{2}) = 1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(BE^2 = 1 + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
25年河西区一模24题
题目
在平面直角坐标系中，\(O\) 为原点，有四边形 \(OABC\)，顶点 \(A(6,0)\)，\(B(0,8)\)，\(C(-2\sqrt{5},4)\)。
(Ⅰ) 填空：\(AB\) 的长是______，\(BC\) 的长是______。
(Ⅱ) 点 \(M,N\) 分别为四边形 \(OABC\) 边上的动点，动点 \(M\) 从点 \(O\) 开始，以每秒1个单位长度的速度沿路线 \(O \to A \to B\) 向终点 \(B\) 匀速运动，动点 \(N\) 从 \(O\) 点开始，以每秒2个单位长度的速度沿路线 \(O \to C \to B \to A\) 向终点 \(A\) 匀速运动，点 \(M,N\) 同时从 \(O\) 点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动。设动点运动的时间为 \(t\) 秒（\(t>0\)），\(\triangle OMN\) 的面积为 \(S\)。
① 当 \(t=3\) 时，求 \(S\) 的值；
② 当点 \(M\) 在线段 \(OA\) 上，且点 \(N\) 在线段 \(BC\) 上时，试用含有 \(t\) 的式子表示 \(S\)，并直接写出 \(t\) 的取值范围。
(Ⅲ) 若 \(S=\dfrac{48}{5}\)，请直接写出此时 \(t\) 的值。（直接写出结果即可）
(Ⅰ) 求 \(AB\)、\(BC\) 的长度
1. 计算 \(AB\) 的长度
已知 \(A(6,0)\)，\(B(0,8)\)，由两点间距离公式：
\(AB = \sqrt{(6-0)^2 + (0-8)^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10\)
2. 计算 \(BC\) 的长度
已知 \(B(0,8)\)，\(C(-2\sqrt{5},4)\)，由两点间距离公式：
\(BC = \sqrt{(-2\sqrt{5}-0)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{20+16} = \sqrt{36} = 6\)
\(AB = 10,\quad BC = 6\)
(Ⅱ) ① 当 \(t=3\) 时，求 \(S\) 的值
1. 确定点 \(M\)、\(N\) 的位置
- 点 \(M\) 速度为1单位/秒，当 \(t=3\) 时，\(OM=3\)，故 \(M(3,0)\)。
- 点 \(N\) 速度为2单位/秒，\(OC = \sqrt{(-2\sqrt{5})^2 + 4^2} = 6\)，\(t=3\) 时 \(ON=6\)，故 \(N\) 到达点 \(C(-2\sqrt{5},4)\)。
2. 计算 \(\triangle OMN\) 的面积
以 \(OM\) 为底，长度为3，点 \(N\) 到 \(x\) 轴的距离（即纵坐标）为高，高为4：
\(S = \dfrac{1}{2} \times OM \times y_N = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6\)
当 \(t=3\) 时，\(S=6\)
(Ⅱ) ② 点 \(M\) 在 \(OA\) 上，点 \(N\) 在 \(BC\) 上时，用 \(t\) 表示 \(S\) 并求 \(t\) 的范围
1. 确定 \(t\) 的取值范围
- 点 \(M\) 在 \(OA\) 上：\(0 < t \le 6\)。
- 点 \(N\) 在 \(BC\) 上：\(N\) 走完 \(OC=6\) 用时 \(6/2=3\) 秒，进入 \(BC\) 段；走完 \(BC=6\) 用时 \(6/2=3\) 秒，离开 \(BC\) 段。
故 \(t\) 的取值范围：\(3 \le t \le 6\)。
2. 求点 \(N\) 的纵坐标
设点 \(N\) 的纵坐标为 \(y\)，当点 \(N\) 在线段 \(BC\) 上时，\(BN=12-2t\)。 过点 \(N\) 作 \(NG \perp OB\) 于点 \(G\)，过点 \(C\) 作 \(CF \perp OB\) 于点 \(F\)，则 \(F(0,4)\)。 由 \(OF=4\)，\(OB=8\)，得 \(BF=8-4=4\)。 由 \(GN \parallel CF\)，得 \(\dfrac{BG}{BF} = \dfrac{BN}{BC}\)：
\(BG = \dfrac{BN \cdot BF}{BC} = \dfrac{4(12-2t)}{6} = 8 – \dfrac{4}{3}t\)
\(y = OB – BG = 8 – \left(8 – \dfrac{4}{3}t\right) = \dfrac{4}{3}t\)
3. 计算 \(\triangle OMN\) 的面积
点 \(M\) 在线段 \(OA\) 上，故 \(OM = t\)，以 \(OM\) 为底，\(y\) 为高：
\(S = \dfrac{1}{2} \times OM \times y = \dfrac{1}{2} \times t \times \dfrac{4}{3}t = \dfrac{2}{3}t^2\)
\(S = \dfrac{2}{3}t^2\)，其中 \(3 \le t \le 6\)
(Ⅲ) 若 \(S=\dfrac{48}{5}\)，直接写出此时 \(t\) 的值
阶段 1：\(3 < t \le 6\)，\(S = -\dfrac{2}{3}t^2 + 6t\)
代入 \(S=\dfrac{48}{5}\)：
\( -\dfrac{2}{3}t^2 + 6t = \dfrac{48}{5} \)
\( 10t^2 – 90t + 144 = 0 \implies 5t^2 – 45t + 72 = 0 \)
\( t = \dfrac{6\sqrt{10}}{5} \quad (\text{在区间 } 3 < t \le 6 \text{ 内，有效}) \)
阶段 2：\(6 < t < \dfrac{28}{3}\)，\(M,N\) 在 \(AB\) 上（相遇前）
\(O\) 到 \(AB\) 的距离 \(OF = \dfrac{24}{5}\)，\(MN = -3t + 28\)，面积公式：
\( S = \dfrac{1}{2} \cdot MN \cdot OF = \dfrac{1}{2}(-3t+28)\cdot\dfrac{24}{5} \)
\( \dfrac{12}{5}(-3t+28) = \dfrac{48}{5} \implies t = 8 \)
阶段 3：\(\dfrac{28}{3} < t \le 11\)，\(M,N\) 在 \(AB\) 上（相遇后）
\(MN = 3t-28\)，同理列方程：
\( \dfrac{12}{5}(3t-28) = \dfrac{48}{5} \implies t = \dfrac{32}{3} \)
最终结论
\( t = \dfrac{6\sqrt{10}}{5},\ t = 8,\ t = \dfrac{32}{3} \)
25年河西区一模25题
题目条件
已知抛物线 \(y = x^2 + bx + c\)（\(b,c\) 为常数）的顶点为 \(P\)，与 \(x\) 轴相交于 \(A,B\) 两点（点 \(A\) 在点 \(B\) 的左侧），与 \(y\) 轴相交于点 \(C\)。
(Ⅰ) 若 \(b=3, c=-4\)，求点 \(P\) 和点 \(A\) 的坐标。
(Ⅱ) 当 \(b=2\)，且 \(AB = PA\) 时，求点 \(P\) 的坐标。
(Ⅲ) 当 \(c=-1, b \le -2\) 时，过直线 \(y = x-1\)（\(1 \le x \le 3\)）上一点 \(G\) 作 \(y\) 轴的平行线，交抛物线于点 \(H\)，当 \(GH\) 的最大值为 4 时，求 \(b\) 的值。
(Ⅰ) 当 \(b=3, c=-4\) 时，求点 \(P\) 和点 \(A\) 的坐标
1. 写出抛物线解析式
\(y = x^2 + 3x – 4\)
2. 求顶点 \(P\) 的坐标
顶点横坐标：\(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{3}{2}\)
代入解析式求纵坐标：
\(y = \left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 + 3 \times \left(-\dfrac{3}{2}\right) – 4 = -\dfrac{25}{4}\)
3. 求与 \(x\) 轴交点 \(A\) 的坐标
令 \(y=0\)，解方程 \(x^2 + 3x – 4 = 0\)：
\((x+4)(x-1) = 0\)，解得 \(x_1 = -4, x_2 = 1\)
因为点 \(A\) 在点 \(B\) 左侧，所以 \(A(-4, 0)\)。
\(P\left(-\dfrac{3}{2}, -\dfrac{25}{4}\right)\)，\(A(-4, 0)\)
(Ⅱ) 当 \(b=2\) 且 \(AB = PA\) 时，求点 \(P\) 的坐标
1. 写出抛物线解析式与顶点坐标
当 \(b=2\) 时，抛物线为 \(y = x^2 + 2x + c\)，顶点横坐标：
\(x_P = -\dfrac{2}{2} = -1\)
顶点纵坐标：\(y_P = (-1)^2 + 2 \times (-1) + c = c – 1\)，即 \(P(-1, c-1)\)。
2. 求 \(AB\) 的长度
令 \(y=0\)，方程 \(x^2 + 2x + c = 0\)，设两根为 \(x_A, x_B\)，由韦达定理：
\(x_A + x_B = -2,\quad x_A x_B = c\)
\(AB = |x_B – x_A| = \sqrt{(x_A+x_B)^2 – 4x_A x_B} = \sqrt{4 – 4c} = 2\sqrt{1-c}\)
3. 求 \(PA\) 的长度
点 \(A\) 的横坐标为 \(-1 – \sqrt{1-c}\)，与顶点 \(P\) 的水平距离为 \(\sqrt{1-c}\)，竖直距离为 \(|c-1|\)。
\(PA = \sqrt{(\sqrt{1-c})^2 + (1-c)^2} = \sqrt{(1-c) + (1-c)^2}\)
4. 由 \(AB = PA\) 列方程求解
\(2\sqrt{1-c} = \sqrt{(1-c) + (1-c)^2}\)
两边平方并化简：\(4(1-c) = (1-c) + (1-c)^2\)，即 \(3(1-c) = (1-c)^2\)。
因为抛物线与 \(x\) 轴有两个交点，所以 \(1-c>0\)，两边除以 \(1-c\)，得 \(1-c=3\)，即 \(c = -2\)。
顶点纵坐标 \(y_P = c-1 = -3\)，故点 \(P\) 的坐标为：
\(P(-1, -3)\)
(Ⅲ) 当 \(c=-1, b \le -2\) 且 \(GH_{\max}=4\) 时，求 \(b\) 的值
1. 构建 \(GH\) 的长度函数
当 \(c=-1\) 时，抛物线解析式为 \(y = x^2 + bx – 1\)。设点 \(G\) 的横坐标为 \(x\)（\(1 \le x \le 3\)），则：
\(G(x, x-1)\)，\(H(x, x^2 + bx – 1)\)
因为 \(b \le -2\)，抛物线对称轴 \(x = -\dfrac{b}{2} \ge 1\)，在区间 \([1,3]\) 上直线在抛物线上方，故：
\(GH = y_G – y_H = (x-1) – (x^2 + bx – 1) = -x^2 + (1-b)x\)
2. 分析二次函数的最大值
\(GH\) 是开口向下的二次函数，对称轴为 \(x = \dfrac{1-b}{2}\)。
- 当 \(\dfrac{1-b}{2} \le 3\)，即 \(-5 \le b \le -2\) 时，最大值在对称轴处取得；
- 当 \(\dfrac{1-b}{2} > 3\)，即 \(b < -5\) 时，最大值在 \(x=3\) 处取得。
3. 分类讨论求解 \(b\)
情况一：\(-5 \le b \le -2\)
\(GH_{\max} = -\left(\dfrac{1-b}{2}\right)^2 + (1-b)\left(\dfrac{1-b}{2}\right) = \dfrac{(1-b)^2}{4}\)
由题意 \(\dfrac{(1-b)^2}{4} = 4\)，解得 \(1-b = \pm 4\)。因 \(b \le -2\)，取 \(1-b=4\)，得 \(b=-3\)。
情况二：\(b < -5\)
\(GH_{\max} = -3^2 + 3(1-b) = -6 – 3b\)
令 \(-6 – 3b = 4\)，解得 \(b = -\dfrac{10}{3}\)，不满足 \(b < -5\)，舍去。
\(b = -3\)
