导数题常用放缩不等式整理（高中版）
下面这些是高考导数题里高频使用的放缩结论：
**结论一：**\[ \ln x \le x – 1 \quad (x>0) \]
– 等号成立：当且仅当 \(x=1\)
– 记忆：对数函数 \(y=\ln x\) 在 \(x=1\) 处的切线是 \(y=x-1\)，图像在切线下方
– 变形： – \(\ln(1+x) \le x \quad (x>-1)\)
（令 \(x \to x+1\)） – \(\ln x \ge 1 – \frac{1}{x} \quad (x>0)\)（令 \(x \to \frac{1}{x}\)）
**结论二：**\[ \ln x \le \sqrt{x} – \frac{1}{\sqrt{x}} \quad (x>0) \]
– 等号成立：当且仅当 \(x=1\)
**结论三：**\[ e^x \ge x + 1 \quad (x \in \mathbb{R}) \] – 等号成立：当且仅当 \(x=0\) – 记忆：指数函数 \(y=e^x\) 在 \(x=0\) 处的切线是 \(y=x+1\)，图像在切线上方
– 变形： – \(e^x \ge ex \quad (x \in \mathbb{R})\)（令 \(x \to x-1\)） – \(e^{-x} \ge 1 – x \quad (x \in \mathbb{R})\)
**结论四：**\[ \sqrt{x_1} – \sqrt{x_2} \le \sqrt{x_1 – x_2} \quad (0 < x_2 < x_1) \] – 验证：两边平方得 \(x_1 + x_2 – 2\sqrt{x_1x_2} \le x_1 – x_2\)，化简为 \(2x_2 \le 2\sqrt{x_1x_2}\)，显然成立
– 适用场景：双变量绝对值不等式、带根号的差值放缩
**结论五：**\[ \frac{x}{1+x} < \ln(1+x) < x \quad (x>0) \] – 等号极限：\(x \to 0^+\) 时两边趋近于 \(x\) – 适用场景：\(\ln(1+x)\) 与多项式的大小比较
**结论六：** \[ \ln x \le \frac{2(x-1)}{x+1} \quad (0 < x \le 1) \] \[ \ln x \ge \frac{2(x-1)}{x+1} \quad (x \ge 1) \]
– 等号成立：当且仅当 \(x=1\) – 记忆：对数的**均值不等式放缩**，适合 \(x\) 接近 1 时的精细估计
**结论七：** \[ \ln x \le \frac{1}{2}\left(x – \frac{1}{x}\right) \quad (x \ge 1) \] \[ \ln x \ge \frac{1}{2}\left(x – \frac{1}{x}\right) \quad (0 < x \le 1) \] – 等号成立：当且仅当 \(x=1\)
– 适用场景：需要把 \(\ln x\) 放缩成有理函数的题目
**结论八：** \[ e^x \ge 1 + x + \frac{x^2}{2} \quad (x \ge 0) \]
– 等号成立：当且仅当 \(x=0\) – 记忆：泰勒展开前三项，适合 \(x \ge 0\) 时的下界估计
– 拓展：\(e^x \ge 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\)（更高阶，压轴题偶尔用）
**结论九：** \[ e^x \ge \frac{x^n}{n!} \quad (x \ge 0, n \in \mathbb{N}^*) \] – 记忆：指数函数增长比任何多项式都快，是「指数爆炸」的数学表达
– 适用场景：证明 \(e^x\) 比多项式增长更快的问题
**结论十：** \[ \sin x < x < \tan x \quad (0 < x < \frac{\pi}{2}) \] \[ \sin x \ge x – \frac{x^3}{6} \quad (x \ge 0) \] – 等号成立：当且仅当 \(x=0\) – 适用场景：结合导数的三角函数不等式证明
高等数学泰勒公式（选修）：
一、泰勒公式（带拉格朗日余项） 若函数 \(f(x)\) 在包含 \(x_0\) 的区间 \((a,b)\) 内有 \(n+1\) 阶导数，则对 \(\forall x \in (a,b)\)： \[ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f”(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + R_n(x) \]
其中： **拉格朗日余项**： \[ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} \] \(\xi\) 介于 \(x_0\) 与 \(x\) 之间。
二、麦克劳林公式（\(x_0=0\)，最常用） \[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f”(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n) \] 皮亚诺余项 \[ R_n(x) = o(x^n) \quad (x\to 0) \]
三、8 个常用麦克劳林展开式（高数标准） 1. 指数函数 \[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) \] 2. 正弦函数 \[ \sin x = x – \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} – \cdots + (-1)^m\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!} + o(x^{2m+1}) \]3. 余弦函数 \[ \cos x = 1 – \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} – \cdots + (-1)^m\frac{x^{2m}}{(2m)!} + o(x^{2m}) \] 4. 自然对数 \(\ln(1+x)\) \[ \ln(1+x) = x – \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} – \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + o(x^n) \] 5. \(\frac{1}{1-x}\) \[ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + o(x^n) \]6. \(\frac{1}{1+x}\) \[ \frac{1}{1+x} = 1 – x + x^2 – \cdots + (-1)^n x^n + o(x^n) \] 7. 二项式 \((1+x)^\alpha\) \[ (1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n + o(x^n) \]8. 正切（常用前两项） \[ \tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3) \]