第Ⅰ卷（共45分）

一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）

1. 已知全集 \(U=\{1,2,3,4,5,6,7\}\)， \(A = \{x \in \mathbb{Z} \mid 1 < x \leq 5\}\)，\(\complement_{U} B=\{1,3,5,7\}\)，则 \(A \cap B=( )\)
   A.2    B.\(\{2,4\}\)    C.\(\{2\}\)    D.\(\{2,4,6\}\)
2. 若\(\alpha\)，\(\beta\)是两个不同的平面，直线 \(m \perp \alpha\)，则“\(m \parallel \beta\)”是“\(\alpha \perp \beta\)”的()
   A.充分不必要条件    B.必要不充分条件    C.充要条件    D.既不充分也不必要条件
3. 设研究某两个属性变量时，作出零假设 \(H_{0}\) 并得到 \(2 ×2\) 列联表，计算得 \(\chi^{2}>\chi_{0.05}^{2}\)，则下列说法正确的是( )
   A.有99.5%的把握认为 \(H_{0}\) 不成立    B.有5%的把握认为 \(H_{0}\) 的反面正确
   C.有95%的把握判断 \(H_{0}\) 正确    D.有95%的把握能反驳 \(H_{0}\)
4. 下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是()
   A.\(y=x^{-2}\)    B.\(y=x+\frac{1}{x}\)    C.\(y=x-\sin x\)    D.\(y=\ln \frac{x+1}{x-1}\)
5. 设 \(a=\log _{2} 3\)，\(b=2 \log _{3} 2\)，\(c=2-\log _{3} 2\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小顺序为()
   A.\(b
6. 已知函数 \(f(x)=|\sin (2 x+\frac{\pi}{4})|\)，则下列说法错误的是()
   A.\(\frac{\pi}{2}\)是函数 \(f(x)\)的周期
   B.函数 \(f(x)\)在区间 \((0, \frac{\pi}{6})\)上单调递增
   C.函数 \(f(x)\)的图象可由函数 \(y=|\sin 2 x|\)向左平移 \(\frac{\pi}{8}\)个单位长度得到
   D.函数 \(f(x)\)的对称轴方程为 \(x=\frac{k \pi}{4}-\frac{\pi}{8}(k \in Z)\)
7. 如图1的方斗杯古时候常作为盛酒的一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，\(AB=6\)，\(A_{1} B_{1}=2\)，现往该方斗杯里加某种酒，当酒的高度是方斗杯高度的一半时，用酒28ml，则该方斗杯可盛该种酒的总容积为()
   A.74ml    B.76ml    C.104ml    D.112ml
8. 国际上常用普姆克实验系数(单位:pmk)表示药品的治愈效果，系数越大表示效果越好。某研究机构元旦时在实验用小白鼠体内注射某种实验药品，二月底测得普姆克系数为24pmk，三月底测得普姆克系数为36 pmk，已知该药品在当年第\(x\)月月底测得的普姆克系数\(y\)与月份\(x\) (单位:月)的关系是 \(y=k a^{x}(k>0, a>1)\)。则普姆克系数是一月底的普姆克系数5倍以上的最小月份是()(参考数据: \(\lg 2 ≈0.3010\)，\(\lg 3 ≈0.4711\))
   A.3    B.4    C.5    D.6
9. 已知双曲线 \(C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)\)的右焦点为F，M、N为直线 \(y=\frac{b}{a} x\)上关于坐标原点对称的两点，A为双曲线的右顶点，若 \(\overrightarrow{F M} \cdot \overrightarrow{F N}=0\)，且 \(\sin \angle M A N=\frac{2 \sqrt{2}}{3}\)，则双曲线C的离心率为()
   A.\(\sqrt{3}\)    B.\(\frac{\sqrt{6}}{2}\)    C.\(\sqrt{15}\)    D.\(\sqrt{33}\)

第Ⅱ卷（共105分）

二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）

10. 已知 \(\frac{a+i}{b-2 i}=i(a, b \in \mathbb{R})\)，其中i是虚数单位，则 \(a+b=\)___
11. 已知 \((a x-\frac{1}{x^{2}})^{6}(a>0)\)的展开式中的常数项为 \(\frac{15}{16}\)，则展开式中所有项的系数之和为___
12. 已知圆 \(C: x^{2}+(y-2)^{2}=9\)的圆心C与抛物线 \(x^{2}=2 p y(p>0)\)的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为A，则原点到直线 \(AC\)的距离为___
13. 在甲、乙、丙、丁四人踢毽子游戏中，第一次由甲踢出，并且每次踢出都等可能踢给另外三人中的任何一人，若第二次踢出后恰好踢给丙，则此毽子是由乙踢出的概率为___；第\(n\)次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为___
14. 如图，\(\triangle ABC\)是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若 \(AD=2\)，\(BD=1\)，点M为线段 \(CE\)上的动点，则 \(AC=\)___，\(\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M C}\)的最小值为___
15. 已知函数 \(f(x)=(x^{2}-1)^{2}-2 a|x^{2}-1|+a+1\)，\(x \in R\)上有四个不同的零点，则实数\(a\)的取值范围是___

三、解答题（本题共5小题，共75分）

16. （本小题满分14分）
    在 \(\triangle ABC\)中，角A、B、C的对边分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，\(\frac{\tan B}{\tan A}=\frac{2 c}{a}-1\)
    (1)求B；
    (2)设 \(a=3\)，\(b=3 \sqrt{7}\)。
    ①求\(c\)；
    ②求 \(\cos (2 A+B)\)的值。
17. （本小题满分15分）
    在如图所示的多面体中，\(EA \perp\)平面 \(ABC\)，\(DB \perp\)平面 \(ABC\)，\(AC \perp BC\)且 \(AC=BC=BD=2 AE=2\)，M是 \(AB\)的中点。
    (1)求证:\(CM \perp EM\)
    (2)求平面 \(EMC\)与平面 \(BCD\)所成角的正弦值；
    (3)在棱 \(DC\)上是否存在一点N，使得直线 \(MN\)与平面 \(EMC\)所成的角是60°，若存在，求出点N的位置；若不存在，请说明理由
18. （本小题满分15分）
    已知椭圆C：\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\)的长轴长为4，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形周长为 \(4 \sqrt{5}\)
    (1)求椭圆的方程；
    (2)直线 \(y=k x+m(k m ≠0)\)与椭圆C交于A、B两点，与y轴交于点M，线段 \(AB\)的垂直平分线与 \(AB\)交于点P，与y轴交于点Q，O为坐标原点，如果 \(\angle M O P=2 \angle M Q P\)，求\(k\)的值。
19. （本小题满分15分）
    若无穷数列 \(\{a_{n}\}\)满足：对于 \(\forall n \in N^{*}\)，\(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_{n}}=A\)，其中A为常数，则称数列 \(\{a_{n}\}\)为“A数列”。
    (1)若等比数列 \(\{b_{n}\}\)为“A数列”，求 \(\{b_{n}\}\)的公比\(q\)；
    (2)若数列 \(\{a_{n}\}\)为“A数列”，且 \(a_{1}=1\)，\(A=1\)。
    ①求证:\(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_{i}}<\frac{7}{4}\)；
    ②若 \(c_{n}^{2}=\sqrt{a_{n}}\)，且 \(\{c_{n}\}\)是正项数列，\(S_{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{c_{i}}\)，求满足不等式

    \(2\sqrt{an+b}-2 < S_n \leq 2\sqrt{cn}-1 \quad (a,b,c,n \in \mathbb{N}^*)\) 求 \(abc\) 的最小值。

20. （本小题满分16分）
    已知函数 \(f(x)=\cos x+\ln (1+x)\)，\(g(x)=a x+1\)
    (1)求 \(f(x)\)在 \(x=0\)处的切线方程；
    (2)若 \(f(x) ≤g(x)\)恒成立，求\(a\)的值；
    (3)求证:\(\sum_{k=n+1}^{2 n} f\left(\sin \frac{1}{k}-1\right)<\ln 2, n \in N^{*}\)。

本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分, 考试用时120分钟。祝各位考生考试顺利!

第I卷(共45分)

注意事项:

1. 每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2. 本卷共9小题,每小题5分,共45分。

参考公式:

• 如果事件 A , B 互斥,那么 \(P(A \cup B)=P(A)+P(B)\)。
• 如果事件 A , B 相互独立,那么 \(P(AB)=P(A)P(B)\)。
• 球的表面积公式 \(S=4\pi R^{2}\) ,其中 R 表示球的半径。

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 \(A=\{-2,-1,0,1,2\}\) , \(B=\{x |-1

A.{-1,0,1}  B.{0,1}  C.{-2,-1,1}  D.{-2,-1,2}

2. \(“\lg a=\lg b”\) 是 \(“(\frac{1}{2})^{a}=(\frac{1}{2})^{b}”\) 的

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件  C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

3.下列说法中,不正确的是

A.在1,3,6,7,9,10,12,15这组数据中,第50百分位数为8
B.分类变量 A 与 B 的统计量 \(\chi^{2}\) 越大,说明 \(“A\) 与 B 有关系”的可信度越大
C.根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的经验回归方程为 \(\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}\) ,若 \(\hat{b}=2\) , \(\bar{x}=1\) , \(\bar{y}=3\) ,则 \(\hat{a}=1\)
D.两个模型中,残差平方和越大的模型拟合的效果越好

4.设 \(a=(\frac{1}{2})^{\sin \frac{\pi}{3}}\) , \(b=0.2^{-0.2}\) , \(c=\log _{\frac{1}{3}} 2\) 则 a、b、c 的大小关系为

A. b

5.已知 m , n 是两条直线, \(α\) 是一个平面,下列命题正确的是

A.若 \(m \parallel \alpha\) , \(n \parallel \alpha\) ,则 \(m \parallel n\)
B.若 \(m \perp \alpha\) , \(m \perp n\) ,则 \(n \parallel \alpha\)
C.若 \(m \perp \alpha\) , \(n \subset \alpha\) ,则 \(m \perp n\)
D.若 \(m \parallel \alpha\) , \(m \perp n\) ,则 \(n \perp \alpha\)

6.已知 \(\{a_{n}\}\) 是各项均为正数的等比数列,且 \(4a_{1}\)、\(\frac{1}{2}a_{3}\)、\(3a_{2}\) 成等差数列,则 \(\frac{a_{4}+a_{5}}{a_{6}+a_{7}}\) 的值是

A. \(\frac{1}{16}\)  B. \(\frac{1}{9}\)  C. 9  D. 16

7.函数 \(f(x)=2\cos ^{2} x+\sqrt{3}\sin 2x-m\) 在区间 \([\frac{\pi}{2}, \pi]\) 上有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是

A.(-2,-1]  B.[2,1]  C.(-1,0]  D.[-1,0]

8.已知 A , B , C 为球 O 的球面上的三个点, \(\odot O_{1}\) 为 \(\triangle ABC\) 的外接圆,若 \(\odot O_{1}\) 的面积为 \(8\pi\) , \(AB=BC=AC=OO_{1}\) ,则球 O 的表面积为

A.36π  B.64π  C.128π  D.256π

9.已知双曲线 \(C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)\) 的左、右焦点分别为 \(F_{1}\)、\(F_{2}\) , C 上一点 \(M(-3,4)\) 关于一条渐近线的对称点恰为右焦点 \(F_{2}\)。若 \(N(x_{0}, y_{0})\) 是 C 上的一个动点,满足 \(\overrightarrow{N F_{1}} \cdot \overrightarrow{N F_{2}}<0\) ,则 \(y_{0}\) 的取值范围是

A. (-5,5)  B.(-4,4)  C.(-5,4)  D.(-4,5)

第II卷

注意事项:

1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2. 本卷共11小题,共105分。

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分。

10.i是虚数单位,复数 \(\frac{2+i}{1-i}=\)________。

11.在 \((x+\frac{2}{x^{2}})^{6}\) 的展开式中,常数项为________。

12.已知圆 C 的方程为 \(x^{2}+y^{2}-2my-1=0(m \in R)\)。当圆 C 的面积最小时,直线 \(3x-4y+a=0(a>0)\) 与圆 C 相切,则 a 的值为________。

13.某中学组建了A, B,C,D,E五个不同的社团,旨在培养学生的兴趣爱好,要求每个学生必须且只能参加一个社团。假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是等可能的,且结果互不影响。记事件 M 为”甲、乙、丙三名学生中恰有两人参加社团A”,则 \(P(M)=\)________;若甲、乙、丙三名学生中有两人参加社团A,则恰巧甲参加社团A的概率为________。

14.在边长为2的菱形 \(ABCD\) 中，\(\angle BAD=60^{\circ}\) 且 \(\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{ED}\)，\(\overrightarrow{BE}=\lambda \overrightarrow{BA}+\mu \overrightarrow{BC}\) 则 \(\lambda+\mu=\)________；若 F 为线段 \(BE\) 上的动点,则 \(\overrightarrow{DF} \cdot \overrightarrow{BF}\) 的最小值为________。

15.已知 \(a>0\)，函数 \(f(x)= \begin{cases}-x^{2}+3 a x-a, & x ≤\frac{1}{2} \\ \frac{1}{x}+a \ln x, & x>\frac{1}{2}\end{cases}\)，若方程 \(f(x)=2 a x-1\) 恰有2个互异的实数解,则 a 的取值范围是________。

三、解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

16.(本小题满分14分)
在 \(\triangle ABC\) 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a , b , c，已知 \(b=\sqrt{7}\) , \(c=1\) , \(B=\frac{\pi}{3}\)。
(I)求 a 的值;
(II)求 \(\sin A\) 的值;
(III)求 \(\cos (B-2 A)\) 的值。

17.(本小题满分15分)
如图,在四棱锥 \(P-ABCD\) 中, \(PA \perp\) 底面 \(ABCD\) , \(AD \perp AB\) , \(AB\parallel DC\) , \(AD=DC=2\) , \(AP=3\) , \(AB=1\) , E 为棱 \(PC\) 的中点。
(I)求证: \(BE\parallel\) 平面 \(PAD\) ;
(II)求平面 \(PAD\) 与平面 \(BDE\) 夹角的余弦值;
(III)求点 P 到平面 \(BDE\) 的距离。

18.(本小题满分15分)
已知椭圆 \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\) 的左焦点在抛物线 \(y^{2}=4 \sqrt{6} x\) 的准线上,且椭圆的短轴长为 \(2 \sqrt{2}\)。
(I)求椭圆的方程;
(II)已知过原点的直线 \(l_{1}\) 与椭圆相交于 M , N 两点,若直线 \(l_{2}: x-2 y+4 \sqrt{2}=0\) 上存在点 Q ,使得 \(\triangle MNQ\) 是以 \(MN\) 为底边的等腰直角三角形,求直线 \(l_{1}\) 的方程。

19.(本小题满分15分)
已知 \(\{a_{n}\}\) 为等差数列,其前 n 项和为 \(S_{n}\) ,满足 \(a_{1}=1\) ,且 \(S_{3}=2 a_{2}+2\)。
(I)求 \(\{a_{n}\}\) 的通项公式;
(II)已知 \(b_{n}= \begin{cases}b_{n+1}-(n+1), & n为奇数 \\ \frac{n^{2}}{2}, & n为偶数\end{cases}\)，\(n \in N^{*}\)
(i)记 \(c_{n}=b_{2 n-1}\) , \(n \in N^{*}\)，证明: \(\{\frac{c_{n}}{n}\}\) 是等差数列;
(ii) 求 \(\sum_{i=2}^{n} \frac{a_{i}^{2}+2 a_{i}-c_{i}}{2^{a_{i}}}(n \in N^{*})\)。

20.(本小题满分16分)
已知函数 \(f(x)=x e^{x-1}\) , \(g(x)=a(x+\ln x)\) ,其中 \(a>0\)。
(I)求曲线 \(y=f(x)\) 在点 \((1, f(1))\) 处的切线方程;
(II)是否存在 a ,使得函数 \(h(x)=g(x)-a x+\frac{1}{x}\) 在区间 \([1, e]\) 上的最小值为0?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由;
(III)设 \(x_{0}\) 是函数 \(F(x)=f(x)-g(x)\) 的极小值点,且 \(F(x_{0}) ≥0\) ,证明: \(F(x_{0}) ≥2(x_{0}^{2}-x_{0}^{3})\)。

本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120 分钟。祝各位考生考试顺利!

第I卷(选择题共45分)

注意事项

1. 答第I卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号涂在答题卡上。
2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答在试卷上无效。
3. 本卷共9小题,每小题5分,共45分。

参考公式

球体积公式 \(V_{球}=\frac{4}{3} \pi r^{3}\) ,球表面积公式 \(S_{球}=4 \pi r^{2}\) (r表示球的半径)。

如果事件A、B互斥,则 \(P(A \cup B)=P(A)+P(B)\)；

如果事件A、B相互独立,则 \(P(AB)=P(A) P(B)\)。

任意两个事件A与B,若 \(P(A)>0\) ,则 \(P(AB)=P(A) P(B | A)\)。

一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1. 已知集合 \(A=\{x |-2

(A) \(\{x |-2-2\}\)  (C) \(\{x |-1 \leq x<2\}\)  (D) \(\{x | x<3\}\)

2. 已知 \(\alpha \in R\)，则“\(tan \alpha=1\)”是“\(\alpha=\frac{\pi}{4}+k \pi(k \in Z)\)”的

(A)充分不必要条件  (B)必要不充分条件  (C)充要条件  (D)既不充分也不必要条件

3. 已知函数 \(f(x)=(x+a) \cdot \frac{e^{x}}{e^{2 x}-1}\) 是偶函数,则实数 \(a=\)

(A) -2  (B)0  (C) 2  (D)4

4. 某物理量的测量结果服从正态分布 \(N(2, \sigma^{2})\) ,下面结论中不正确的是

(A)该物理量在一次测量中小于2的概率为0.5

(B)该物理量在一次测量中小于1.98与大于2.02的概率相等

(C)该物理量在一次测量中落在(1.9,2.2)与落在(2,2.3)的概率相等

(D) \(\sigma\) 越小,该物理量在一次测量中在(1.9,2.1)的概率越大

5. 已知 \(a=(\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}}\)，\(b=log _{2} 3\)，\(c=(log _{2} \sqrt{3}) \cdot(log _{3} 4)\)，则a、b、c的大小关系为

(A) \(a

6. 已知直线 \(l: y=x+m(m \in R)\) 经过抛物线 \(y^{2}=-4 x\) 的焦点,直线l与圆 \((x-a)^{2}+y^{2}=9\) 相交于A、B两点,且 \(|A B|=2\) ,则实数a的值等于

(A)3  (B)5  (C)3或-5  (D)-3或5

7. 关于函数 \(f(x)=sin (\frac{\pi}{3}-2 x)\) ,下面结论成立的是

(A) \(f(x)\) 在区间 \([\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]\) 上的最大值为 \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

(B) \(f(x)\) 在区间 \((0, \frac{\pi}{6})\) 上单调递增

(C) \(f(x)=f\left(\frac{2 \pi}{3}-x\right)\)

(D) \(f(x)\) 的图象关于点 \((\frac{2 \pi}{3}, 0)\) 对称

8. 已知正四面体ABCD(各面都是正三角形),其内切球(与面体各个面都相切的球)表面积为 \(\frac{\pi}{6}\) ,设能装下正四面体 \(A B C D\) 的最小正方体的体积为 \(V_{1}\)，正四面体 \(A B C D\) 的外接球(四面体各顶点都在球的表面上)体积为 \(V_{2}\)，则 \(V_{1} \cdot V_{2}=\)

(A) \(\frac{\sqrt{3}}{16} \pi\)  (B) \(\frac{\sqrt{6}}{8} \pi\)  (C) \(\frac{3 \sqrt{2}}{8} \pi\)  (D) \(\frac{3}{2} \pi\)

9. 已知F是双曲线 \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)\) 的右焦点,过点F作垂直于x轴的直线与双曲线交于 \(S, T\) 两点, \(A_{1}\)、\(A_{2}\) 分别为双曲线的左、右顶点,连接 \(A_{1} S\) 交y轴于点R ,连接 \(R A_{2}\) 并延长交 \(S T\) 于点H ,且 \(4 \overrightarrow{F H}=\overrightarrow{F T}\) ,则双曲线的离心率为

(A) \(\frac{1}{2}\)  (B)3  (C) 2  (D) \(\frac{5}{3}\)

第II卷(非选择题共105分)

注意事项

1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2. 本卷共11小题,共105分。

二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分。试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分)

10. i为虚数单位,复数 \(z=(3-i)(1-i)\) 的实部为__________。

11. 在 \((2 x^{3}-\frac{1}{\sqrt{x}})^{8}\) 的展开式中，\(x^{7}\) 的系数为__________(用数字作答)。

12. 袋子中装有8个球,其中6个黑球,2个白球,若依次随机取出2个球,则在第一次取到黑球的条件下,第二次取到白球的概率为__________；若随机取出3个球,记取出的球中白球的个数为X,则X的数学期望 \(E(X)=\)__________。

13. 已知正项数列 \(\{a_{n}\}\) 的前n项和 \(S_{n}\) 满足 \(2 S_{n}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}}(n \in N^{*})\)，则 \(a_{5}=\)__________。

14. 已知平面四边形ABCD满足 \(|\overrightarrow{A D}|=|\overrightarrow{A B}|=2\)，\(\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{C D}=2 \overrightarrow{B A}\)，且 \(\overrightarrow{B A} \cdot \frac{\overrightarrow{B C}}{|\overrightarrow{B C}|}=1\)，M为AB的中点，则 \(|\overrightarrow{C M}|=\)__________；若E、F分别为线段AD、BC上的动点,且满足 \(\overrightarrow{M E} \cdot \overrightarrow{M F}=\frac{13}{4}\)，则 \(|\overrightarrow{M E}+\overrightarrow{M F}|\) 的最小值为__________。

15. 若关于x的方程 \(|x^{2}-2 a x|+|x^{2}+2 a x-3 a^{2}|=2 x+a\) 有两个不相等的实根,则实数a的取值范围是__________。

三、解答题(本大题共5小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

16. (本小题满分14分)

在 \(\triangle A B C\) 中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知 \(\triangle A B C\) 的面积为 \(\sqrt{2}\)，\(c-b=2\)，\(cos A=-\frac{1}{3}\)。

(I) 求a的值；

(II) 求 \(sin C\) 的值；

(III) 求 \(cos (2 A+\frac{\pi}{3})\) 的值。

17. (本小题满分15分)

如图,在四棱锥 \(E-D A B C\) 中,平面 \(DEC \perp\) 平面 \(D A B C\) , \(A D \perp C D\) , \(A B / / C D\) , \(D A=D C=4\) , \(A B=E C=2\) ,且 \(C E \perp E D\)。

(I) 求直线 \(D E\) 与平面 \(BCE\) 所成角的正弦值；

(II) 求平面 \(A B C\) 与平面 \(B C E\) 的夹角的余弦值；

(III) 求点A到平面 \(BCE\) 的距离。

18. (本小题满分15分)

椭圆 \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\) 的左、右焦点分别为 \(F_{1}(-c, 0)\) 和 \(F_{2}(c, 0)\) ,左顶点为A,下顶点为B, \(|A B|=\frac{\sqrt{3}}{2}|F_{1} F_{2}|\)。

(I) 求椭圆的离心率；

(II) 已知过 \(F_{1}\) 的直线l与椭圆交于M、N两点,若在直线 \(x=-2 c\) 上存在一点P使得 \(\triangle M P N\) 为面积是 \(\frac{18}{5} \sqrt{3}\) 的等边三角形,求直线l的方程与椭圆的标准方程。

19. (本小题满分15分)

已知 \(n \in N^{*}\) ,记无穷数列 \(\{a_{n}\}\) 的前n项中的最大值为 \(M_{n}\) ,最小值为 \(m_{n}\) ,令 \(b_{n}=\frac{M_{n}+m_{n}}{2}\)。

(I) 若 \(a_{n}=(-2)^{n}\) ,求数列 \(\{b_{n}\}\) 的通项公式与其前n项和 \(S_{n}\)；

(II) 若数列 \(\{b_{n}\}\) 为递增的等差数列,判断数列 \(\{a_{n}\}\) 是否也一定为递增的等差数列,并说明理由；

(III) 若 \(b_{n}=2 n-4\) , \(c_{n}=\frac{a_{n}}{3^{n}}\) ,设数列 \(\{c_{n}\}\) 的前n项和为 \(T_{n}\) ,是否存在正整数p、q(\(1

20. (本小题满分16分)

已知函数 \(f(x)=e^{a x}\)，\(g(x)=x+b,(a, b \in R)\)。

(I) 若 \(a=-1\) ,函数 \(F(x)=f(x) \cdot g(x)\) 在点 \((1, f(1))\) 处的切线斜率为 \(-\frac{1}{e}\) ,求函数 \(F(x)\) 的单调区间和极值；

(II) 试用(I)的结论,证明：\(\sum_{i=2}^{n}(\frac{1}{2 i})^{i}<\frac{1}{\sqrt{e}(e-1)},(n \in N^{*})\)；

(III) 若 \(b=0\) , \(a>0\) ,且 \(x \in(0,+\infty)\) 时不等式 \((\frac{f(x)}{g(x)})^{2 a}>\frac{\ln x}{\ln f(x)}\) 恒成立,求a的取值范围。

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第I卷1至3页,第II卷3至8页。

第I卷(选择题共45分)

注意事项:

1. 答第I卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。
2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3. 本卷共9小题,每小题5分,共45分。

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 1.如图,已知全集 \(U=\{-2,-1,3,4,5\}\) ,集合 \(A=\{-1,3,5\}\) , \(B=\{-2,5\}\) ,则图中阴影部分表示的集合是
   A. \(\{-2,-1,3,5\}\)
   B. \(\{-2,5\}\)
   C. \(\{5\}\)
   D. \(\{-2\}\)
2. 2. \(x^{\frac{1}{3}}>y^{\frac{1}{3}}\) 是相关条件的判断，该条件为
   A.充分不必要条件
   B.必要不充分条件
   C.充要条件
   D.既不充分也不必要条件
3. 3.函数 \(f(x)=(2^{-x}-2^{x}) \cos x\) 的图象大致为
   A.（略）
   B.（略）
   C.（略）
   D.（略）
4. 4.已知 \(r_{1}\) 表示变量 x 与y之间的相关系数, \(r_{2}\) 表示变量 u 与 v 之间的相关系数, 且 \(r_{1}=0.836\) , \(r_{2}=-0.958\) ,则
   A.变量 x 与 y 之间呈正相关关系,且 x 与 y 之间的相关性强于 u 与 v 之间的相关性
   B.变量 x 与 y 之间呈负相关关系,且 x 与 y 之间的相关性强于 u 与 v 之间的相关性
   C.变量 u 与 v 之间呈负相关关系,且 x 与 y 之间的相关性弱于 u 与 v 之间的相关性
   D.变量 u 与 v 之间呈正相关关系,且 x 与 y 之间的相关性弱于 u 与v之间的相关性
5. 5.设 \(a=3^{0.7}\)，\(b=(\frac{1}{3})^{-0.8}\)，\(c=\log _{0.7} 0.8\) 则
   A. \(a B. \(b C. \(b D. \(c
6. 6.若 \(m, n\) 为空间两条不同的直线, \(\alpha, \beta\) 为空间两个不同的平面,则下列结论不正确的是
   A.若 \(m \parallel \alpha, m \parallel n, n \not\subset \alpha\) ,则 \(n \parallel \alpha\)
   B.若 \(m \perp \alpha, m \parallel \beta\) ,则 \(\alpha \perp \beta\)
   C.若 \(\alpha \parallel \beta, m \perp \alpha, n \subset \beta\) 则 \(m \perp n\)
   D.若 \(m \parallel \alpha, n \parallel \alpha\) 则 \(m \parallel n\)
7. 7.已知双曲线 \(C: x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1\) 的右焦点为 F，且倾斜角为 \(30^{\circ }\) 的直线交双曲线 C 的两条渐近线于 D、E 两点,则 \(|DE|=\)
   A. \(\sqrt{3}\)
   B. \(\sqrt{5}\)
   C. \(2 \sqrt{3}\)
   D. \(2 \sqrt{5}\)
8. 8.已知函数 \(f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})\) 的部分图象如图所示, 给出下列结论:
   (1) \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\sqrt{3}\);
   (2)当 \(x \in[-\frac{\pi}{2}, 0]\) 时, \(f(x) \in[-2, \sqrt{3}]\)
   (3)函数 \(f(x)\) 的单调递减区间为 \([k \pi+\frac{\pi}{12}, k \pi+\frac{7 \pi}{12}],(k \in Z)\)
   (4)将 \(f(x)\) 的图象向右平移 \(\frac{\pi}{3}\) 个单位,得到 \(y=2 \sin 2 x\) 的图象
   其中正确的结论个数是
   A.1
   B.2
   C.3
   D.4
9. 9.在各棱长均为1的正三棱柱 \(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\) 中, D、E 分别为 \(BB_{1}\) , \(B_{1}C_{1}\) 的中点, 过 A、D、E 三点的截面将三棱柱分成上下两部分,记体积较小部分的体积为 \(V_{1}\) , 另一部分的体积为 \(V_{2}\) 则 \(\frac{V_{1}}{V_{2}}\) 的值为
   A. \(\frac{13}{21}\)
   B. \(\frac{13}{23}\)
   C. \(\frac{3}{5}\)
   D. \(\frac{9}{11}\)

第II卷

注意事项:

1. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2. 用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上。
3. 本卷共11小题,共105分。

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分,请将答案写在答题纸上。

1. 10.已知i为虚数单位,则复数 \(\frac{9+2 i}{4-i}=\)________。
2. 11.在 \((2 x-\frac{1}{\sqrt{x}})^{5}\) 的展开式中, \(x^{2}\) 项的系数为________(用数字作答)。
3. 12.在平面直角坐标系 \(xOy\) 中,直线 \(l: m x+y-m=0\) 被圆 \(M: x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+1=0\) 截得的最短弦的长度为________。
4. 13.第十五届中国国际航空航天博览会在2024年11月12日至17日在广东珠海举行。此次航展,观众累计参观近60万人次,签约金额超2800亿人民币,为庆祝这一盛会的成功举行,珠海某商场决定在航展期间举行”购物抽奖送航模”活动,奖品为”隐形战机歼-20S”模型。抽奖规则如下:盒中装有7个大小相同的小球,其中3个是红球,4个是黄球。每位顾客均有两次抽奖机会,每次抽奖从盒中随机取出2球,若取出的球颜色不相同,则没有中奖,小球不再放回盒中;若取出的球颜色相同,则中奖,并将小球放回盒中。某顾客两次抽奖都中奖的概率为________;该顾客第一次抽奖没有中奖的条件下,第二次抽奖中奖的概率为________。
5. 14.在平面向量中，\(\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{PC}\)，\(\overrightarrow{CQ}=2\overrightarrow{QD}\)，若以\(\overrightarrow{AB}\)、\(\overrightarrow{AD}\)为基底，则\(\overrightarrow{PQ}=\)________\(\overrightarrow{AB}+\)________\(\overrightarrow{AD}\)；若 \(\angle PAQ=45^{\circ}\) ,则 \(\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AQ}\) 的最小值为________。
6. 15.若函数 \(f(x)=x(2^{-x}-a)-|x-1|\) 有且仅有一个零点 \(x_{0}\) ,且 \(x_{0}>0\) ,则实数 a 的取值范围为________。

三、解答题:本大题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

1. 16.(本小题满分14分)
   在 \(\triangle ABC\) 中,内角 A、B、C 的对边分别为 \(a, b, c\) , \(c=2 b\) , \(\sqrt{2} \sin A=3 \sin B\)
   (I)求 \(\sin C\) 的值;
   (II)求 \(\cos (2 C+\frac{\pi}{6})\) 的值;
   (III)若 \(\triangle ABC\) 的面积为 \(\frac{3 \sqrt{7}}{2}\) ,求c的值。
2. 17.(本小题满分15分)
   如图,在多面体 \(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\) 中,侧面 \(ABB_{1}A_{1}\) 为矩形, \(CA \perp\) 平面 \(ABB_{1}A_{1}\) , \(CC_{1} \perp\) 平面 \(ABC\) , \(AA_{1}=AC=4\) , \(CC_{1}=2\) , \(AB=3\)。
   (I)求直线 \(A_{1}C\) 与平面 \(ABC_{1}\) 所成角的正弦值;
   (II)求平面 \(ABC_{1}\) 与平面 \(A_{1}B_{1}C_{1}\) 的夹角的余弦值;
   (III)求点 \(A_{1}\) 到平面 \(ABC_{1}\) 的距离。
3. 18.(本小题满分15分)
   已知椭圆 \(C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\) 的左、右焦点分别为 \(F_{1}, F_{2}\) ,左、右顶点分别为 \(A_{1}\) 、 \(A_{2}\) ,且右顶点和上顶点都在直线 \(\sqrt{3} x+2 y-2 \sqrt{3}=0\) 上。
   (I)求 C 的方程;
   (II)若直线 l 经过 \(F_{1}\) 交椭圆 C 于 A、B 两点,求 \(\triangle A_{2}AB\) 面积的最大值;
   (III)若过点 \(P(4,0)\) 的直线交 C 于 M、N 两点,点 G 是线段 \(MN\) 上异于 M、N 的一点, 且 \(|GA_{1}|=|GP|\) ,证明: \(|PM| \cdot|GN|=|PN| \cdot|MG|\)。
4. 19.(本小题满分15分)
   在数列 \(\{a_{n}\}\) 中,按照下面方式构成数列 \(\{b_{n}\}\)：\(b_{1}=a_{1}\) , \(b_{2}=\max \{a_{1}, a_{2}\}\) , \(b_{3}=\max \{a_{1}, a_{2}, a_{3}\}, \cdots, b_{n}=\max \{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\}(n ≥2)\) ,其中 \(\max \{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{i}\}(2 ≤i ≤n)\) 表示数列 \(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{i}\) 中最大的项。
   (I)若数列 \(\{a_{n}\}\) 的前4项分别为2,1,4,3,求数列 \(\{b_{n}\}\) 的前4项;
   (II)若 \(\{a_{n}\}\) 满足 \(a_{1}=-2\) ,且 \(n a_{n+1}+2(n+1) a_{n}=0\)。
   (i)求 \(b_{3}+b_{6}\) 的值;
   (ii)求 \(\{b_{n}\}\) 的前 n 项和 \(S_{n}\)。
5. 20.(本小题满分16分)
   已知函数 \(f(x)=a x \ln x\)。
   (I)当 \(a>0\) 时,讨论函数 \(f(x)\) 的单调性;
   (II)当 \(0 (i)求实数a的值;
   (ii)求证: \(f(x)

本试卷分I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。

第I卷(选择题 共45分)

一、选择题:本题共9个小题,每小题5分,共45分。每小题给出的四个选项只有一个符合题目要求。

1. 已知集合 \(A=\{x |-2A. \( \{x | 1 \leq x \leq 2\}\)
   B. \( \{x |-2C. \( \{x | 1D. \( \{x |-2 \leq x<3\}\)
2. 已知\(a\)为正数，则\( a>3 \)是\( a^{a}>a^{3} \)的( )
   A.充分非必要条件
   B.必要非充分条件
   C.充要条件
   D.既非充分也非必要条件
3. 函数 \(y=\frac{4 x}{e^{x}+e^{-x}}\) 的图象大致是( )
   A.（无图）
   B.（无图）
   C.（无图）
   D.（无图）
4. 已知 \(a=log _{0.2} 0.3\)，\(b=log _{0.3} 0.2\)，\(c=log _{2} 3\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系为( )
   A. \(bB. \(aC. \(cD. \(a
5. 下列说法中,正确的有( )
   ①回归直线 \(\hat{y}=\hat{b} x + \hat{a}\) 恒过样本中心点，且至少过一个样本点；
   ②根据2×2列联表中的数据计算得出 \(\kappa^{2}>6.635\)，而 \(P(\kappa^{2}>6.635) ≈0.01\)，则有99%的把握认为两个分类变量有关系，即有1%的可能性使得”两个分类变量有关系”的推断出现错误；
   ③\(\kappa^{2}\)是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当\(\kappa^{2}\)的值很小时可以推断两类变量不相关；
   ④某项测量结果\(\xi\)服从正态分布 \(N(1, \sigma^{2})\)，若 \(P(\xi<5)=0.81\)，则 \(P(\xi<-3)=0.19\)
   A.1个
   B.2个
   C.3个
   D.4个
6. 若将函数 \(y=4 sin (6 x+\frac{\pi}{6})\) 的图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，再向右平移 \(\frac{\pi}{6}\) 个单位长度，得到函数 \(y=f(x)\) 的图像，若 \(y=f(x)+a\) 在 \(x \in[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]\) 上有两个不同的零点，则实数\(a\)的取值范围是( )
   A.\([-4,2]\)
   B.\([-2,2]\)
   C.（原卷缺失）
   D.\((-4,-2]\)
7. 抛物线\(y^2=2px(p>0)\)的焦点与双曲线 \(\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{2}=1\) 的一个焦点重合，若\(\triangle ABF\)的周长为 \(4\sqrt{2}\)，则 \(p=\) ( )
   A.2
   B. \(2 \sqrt{2}\)
   C.8
   D.4
8. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，\(PA=PB=PC\)，\(\triangle A B C\) 是边长为2的正三角形，E、F分别是PA、AB的中点，\(\angle CEF=90^{\circ}\)，则球O的体积为( )
   A. \(8 \sqrt{6} \pi\)
   B. \(4 \sqrt{6} \pi\)
   C. \(2 \sqrt{6} \pi\)
   D. \(\sqrt{6} \pi\)
9. 定义在\(R\)上的函数\(y=f(x)\)为偶函数，当\( x ≥0\) 时，\(f(x)= \begin{cases}2 sin \frac{\pi}{2} x, & 0 ≤x ≤1 \\ (\frac{1}{2})^{x}+\frac{3}{2}, & x>1\end{cases}\)，关于\(x\)的方程 \([f(x)]^{2}+a f(x)+b=0(a, b \in R)\) 有且仅有6个不同实数根，则实数\(a\)的取值范围是( )
   A. \(\left(-4,-\frac{3}{2}\right)\)
   B. \(\left(-4,-\frac{7}{2}\right)\)
   C. \(\left(-4,-\frac{7}{2}\right) \cup\left(-\frac{7}{2},-\frac{3}{2}\right)\)
   D. \(\left(-4,-\frac{3}{2}\right) \cup\left(-1,-\frac{2}{7}\right)\)

第II卷(非选择题 共105分)

二、填空题:本题共6个小题,每小题5分,共30分。把答案填在题中横线上。

10. 已知复数 \(z=\frac{1+3 i}{2+i}\)，则\(|z|=\)__________
11. 在 \((2 x^{3}-\frac{1}{x})^{6}\) 的展开式中，\(x^{2}\)项的系数为__________
12. 若直线l: \(x-\sqrt{3} y+9=0\) 被圆C: \(x^{2}+y^{2}+2 x-m=0\) 截得线段的长为6，则实数\(m\)的值为__________
13. 已知\(a, b \in R^{+}\)，\(a+2 b=1\)，则 \(\frac{2}{a+2}+\frac{1}{b+1}\) 的最小值为__________
14. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有4个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则当已知该家庭4个小孩中有女孩的条件下，4个小孩中至少有2个男孩的概率为__________
15. 在 \(\triangle A B C\) 中，\(\angle B A C=\frac{\pi}{3}\)，\(\overrightarrow{A D}=3 \overrightarrow{D B}\)，P为\(C D\)上一点，且满足 \(\overrightarrow{A P}=m \overrightarrow{A C}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}\)，则\(m=\)__________；若\(\triangle A B C\) 的面积为 \(\frac{3 \sqrt{3}}{2}\)，则 \(|\overrightarrow{A P}|\) 的最小值为__________

三、解答题:本题共5个小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

16. 在钝角 \(\triangle A B C\) 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 \(a=7\)，\(b=3\)，\(cos C=\frac{11}{14}\)。
    (I)求边长\(c\)和角\(A\)的大小；
    (II)求 \(sin (2 C-\frac{\pi}{6})\) 的值。
17. 在如图所示的几何体中，四边形 \(ABCD\) 是正方形，四边形 \(ADPQ\) 是梯形，\(P D / / Q A\)，\(\angle P D A=\angle P D C=\frac{\pi}{2}\)，且 \(A D=P D=2 Q A=2\)。
    (I)求证: \(QB\parallel\) 平面 \(PDC\)；
    (II)求平面 \(CPB\) 与平面 \(PBQ\) 所成角的大小；
    (III)已知点 H 在棱 \(P D\) 上，且异面直线 \(AH\) 与 \(P B\) 所成角的余弦值为 \(\frac{7 \sqrt{3}}{15}\)，试确定点 H 的位置。
18. 设椭圆 \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\) 的右顶点为A，上顶点为B，已知椭圆的离心率为 \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)，\(|A B|=\sqrt{13}\)。
    (I)求椭圆的标准方程；
    (II)设直线L: \(y=k x(k<0)\) 与椭圆交于M，N两点，且点M在第二象限，L与\(A B\)延长线交于点P，若 \(\triangle B N P\) 的面积是 \(\triangle B M N\) 面积的3倍，求\(k\)的值。
19. 已知等差数列 \(\{a_{n}\}\) 的前n项和为 \(S_{n}\)，数列 \(\{b_{n}}\) 是等比数列，满足 \(a_{1}=b_{1}\)，\(a_{2}=5\)，\(a_{3}+a_{4}=19\)，\(S_{11}=11(b_{4}+1)\)。
    (I)求数列 \(\{a_{n}\}\) 和 \(\{b_{n}}\) 的通项公式；
    (II)若对于数列 \(\{a_{n}\}\)，在 \(a_{k}\) 和 \(a_{k+1}\) 之间插入 \(b_{k}\) 个\(1(k \in N^{*})\)，组成一个新的数列 \(\{d_{n}\}\)，记数列\(\{d_{n}}\) 的前n项和为 \(T_{n}\)，求 \(T_{2025}\)。
20. 已知函数 \(f(x)=a^{x}\)，\(g(x)=log _{a} x\)，其中 \(a>1\)。
    (I) 若 \(h(x)=\frac{x^{2}}{f(x)}(x>0)\)；
    (i)当 \(a=2\) 时，求 \(h(x)\) 的单调区间；
    (ii)曲线 \(y=h(x)\) 与直线 \(y=1\) 有且仅有两个交点，求\(a\)的取值范围。
    (II)证明:当 \(a ≥e^{\frac{1}{e}}\) 时，存在直线L，使直线L是曲线 \(y=f(x)\) 的切线，也是曲线 \(y=g(x)\) 的切线。

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120 分钟。第I卷1至3页,第II卷4至8页。

答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!

第I卷

注意事项

1. 每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2. 本卷共9小题,每小题5分,共45分。

参考公式

·如果事件 A , B 互斥,那么 \(P(A \cup B)=P(A)+P(B)\)。

·如果事件 A , B 相互独立,那么 \(P(AB)=P(A)P(B)\)。

·锥体的体积公式 \(V=\frac{1}{3}Sh\)，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高。

选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集 \(U=\{-2,-1,0,1,2,3\}\)，\(A=\{-1,2\}\)，\(B=\{1,3\}\)，则 \(\complement_{U}(A \cup B)=\)

(A) \(\{1,3\}\)  (B) \(\{1,3\}\)  (C) \(\{-2,1\}\)  (D) \(\{-2,0\}\)

2. 设 \(a,b \in R\)，则”\(a>b\)”是”\(\lg (a-b)>0\)”的

(A)充分不必要条件  (B)必要不充分条件  (C)充分必要条件  (D)既不充分也不必要条件

3. 对变量 x , y 有观测数据 \((x_{i}, y_{i})(i=1,2,3, \cdots, 10)\)，得散点图1；对变量 u , v 有观测数据 \((u_{i}, v_{i})(i=1,2,3, \cdots, 10)\)，得散点图2。由这两个散点图可以判断

(A)变量 x 与 y 正相关, u 与 v 正相关  (B)变量 x 与 y 正相关, u 与 v 负相关

(C)变量 x 与 y 负相关, u 与 v 正相关  (D)变量 x 与 y 负相关, u 与 v 负相关

4. 设 \(a=\log _{3} 5 \times\log _{2} 3\)，\(b=\log _{0.9} 1.1\)，\(c=2 \sin 1\)，则 a , b , c 的大小关系为

(A) \(b

5. 若 \(a,b \in R\)，且 \(ab>0\)，则下列不等式恒成立的是

(A) \(a^{2}+b^{2} \geq a+b\)  (B) \(a+b \geq 2 \sqrt{ab}\)  (C) \(\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \geq 2\)  (D) \(a^{2}+b^{2} \geq 4ab\)

6. 已知函数 \(f(x)=e^{2 x}+e^{-2 x-2}\)，则

(A) \(f(x+1)\) 为奇函数  (B) \(f(x+\frac{1}{2})\) 为偶函数  (C) \(f(x-1)\) 为奇函数  (D) \(f(x-\frac{1}{2})\) 为偶函数

7. 已知函数 \(f(x)=\sin (\omega x+\frac{\pi}{3})(\omega>0)\) 图象的一条对称轴是 \(x=\frac{\pi}{2}\) 且在 \([0, \pi]\) 上有且仅有两个对称中心，则函数 \(f(x)\) 的解析式为

(A) \(f(x)=\sin \left(\frac{1}{3} x+\frac{\pi}{3}\right)\)  (B) \(f(x)=\sin \left(\frac{7}{3} x+\frac{\pi}{3}\right)\)

(C) \(f(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)\)  (D) \(f(x)=\sin \left(\frac{10}{3} x+\frac{\pi}{3}\right)\)

8. 已知双曲线 \(C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)\) 的左、右焦点分别为 \(F_{1}\)、\(F_{2}\)，M 为双曲线的渐近线上的点，满足 \(\overrightarrow{F_{1} M} \cdot \overrightarrow{F_{2} M}=0\) 且 \(|M F_{1}|=2|M F_{2}|\)，\(\triangle M F_{1} F_{2}\) 的面积为 \(\frac{20}{9}\)，则双曲线 C 的方程为

(A) \(x^{2}-\frac{9 y^{2}}{16}=1\)  (B) \(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)  (C) \(\frac{9 x^{2}}{16}-y^{2}=1\)  (D) \(\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{64}=1\)

9. 如图,在体积为 V 的正四棱锥 \(P-ABCD\) 中，\(\overrightarrow{P E}=2 \overrightarrow{E B}\)，\(\overrightarrow{P F}=\overrightarrow{F D}\)，设平面 \(AEF\) 与直线 \(PC\) 交于点 G，记四棱锥 \(P-AEGF\) 的体积为 \(V_{1}\)，则 \(V_{1}:V=\)

(A) \(\frac{1}{5}\)  (B) \(\frac{2}{5}\)  (C) \(\frac{7}{15}\)  (D) \(\frac{7}{30}\)

第II卷

注意事项

1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2. 本卷共11小题,共105分。

二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分。试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分。

10. i是虚数单位,复数 \(\frac{i-\sqrt{3}}{i+\sqrt{3}}=\)__________

11. \((2 x^{2}-\frac{1}{x})^{6}\) 的展开式中, \(x^{-3}\) 项的系数为__________

12. 已知抛物线 \(y^{2}=4 x\) 上位于第一象限内的点 P 到抛物线的焦点 F 的距离为5,过点 P 作圆 \(x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+1=0\) 的切线,切点为 M ,则 \(PM=\)__________

13. 某体育器材商店经营 A , B , C 三种型号的组合器,三种型号组合器械的优质率分别为0.9,0.8,0.7,市场占有比例为4:4:2,某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械,则买到的组合器是优质产品的概率为__________；若该健身中心从 A , B , C 三种型号的组合器械各买一件,则恰好买到两件优质产品的概率为__________

14. 如图所示,四边形 \(ABCD\) 内接于圆 O，\(AB \parallel CD\)，\(AB=6\)，\(\overrightarrow{AO} \cdot \overrightarrow{AB}=9\)，\(\overrightarrow{AO}=x \overrightarrow{AB}+y \overrightarrow{AD}\) 且 \(2 x+6 y=3\)，则四边形 \(ABCD\) 的面积为__________

15. 定义 \(min \{f(x), g(x)\}= \begin{cases}f(x),f(x) ≤g(x) \\ g(x),f(x)>g(x)\end{cases}\)，\(h(x)=min \{|x|-1, x^{2}-2 a x+a+2\}\)，若 \(h(x)=0\) 至少有3个不同的实数解,则实数 a 的取值范围是__________

三、解答题：本大题共5小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

16. (本小题满分14分)

在\(\triangle ABC\)中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,已知 \(cos B=\frac{b+2 c}{2 a}\)。

(I)求角 A 的大小；

(II)设 \(b=2\)，\(c=3\)。

(i)求 a 的值；

(ii)求 \(cos (2 B-A)\) 的值。

17. (本小题满分15分)

如图所示,在几何体 \(ABCDEF\) 中,AE⊥底面 \(ABCD\)，\(CF \parallel AE\)，\(AD \parallel BC\)，\(AB \perp AD\)，\(AB=AD=1\)，\(AE=BC=2\)。

(I)求证: \(BF \parallel\) 平面 \(ADE\)；

(II)求直线 \(CE\) 与平面 \(BDE\) 所成角的正弦值；

(III)若平面 \(BDE\) 与平面 \(BDF\) 所成角的余弦值为 \(\frac{1}{3}\)，求线段 \(CF\) 的长。

18. (本小题满分15分)

已知椭圆 \(C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\) 的左、右顶点为 A、B，左焦点为 F，离心率为 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，过点 F 且垂直于 x 轴的直线截椭圆 C 截得的线段长为 \(\sqrt{2}\)。

(I)求椭圆 C 的标准方程；

(II)过点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 P，Q 两点(其中点 P 在 x 轴上方)，求 \(\triangle AQF\) 与 \(\triangle BPF\) 的面积之比的取值范围。

19. (本小题满分15分)

已知数列 \(\{a_{n}\}\) 为等差数列,数列 \(\{b_{n}\}\) 为等比数列,且 \(a_{1}=1\)，\(a_{4}=7\)，\(a_{1}+b_{3}=a_{2}^{2}\)，\(a_{2} b_{3}=4 a_{3}+b_{2}\)，\(n \in N^{*}\)。

(I)求数列 \(\{a_{n}\}\) 和 \(\{b_{n}\}\) 的通项公式；

(II)设 \(c_{n}= \begin{cases}\frac{(3 n-1)(n-3)}{b_{n+1}},n为奇数 \\ (2n-1)b_{n},n为偶数\end{cases}\)，求数列 \(\{c_{n}\}\) 的前 \(2n\) 项和 \(T_{2n}\)；

(III)当 \(n ≥1\) 时,设集合 \(M_{n}=\{b_{i}+b_{j} | 3 \cdot 2^{n}

20. (本小题满分16分)

已知函数 \(f(x)=(x+1) \ln x+a x (a \in R)\)。

(I)若 \(y=f(x)\) 在 \((1, f(1))\) 处的切线方程为 \(x+y+b=0\)，求实数 a , b 的值；

(II)求证:当 \(a<-2\) 时, \(y=f(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 上有两个极值点；

(III)设 \(g(x)=|f(x)| \cdot \frac{1}{x e^{x}}\)，若 \(g(x)\) 在 \([1, e]\) 上单调递减,求实数 a 的取值范围(其中 e为自然对数的底数)。

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时,务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利!

参考公式：

柱体的体积公式 \(V_{柱体}=Sh\)，其中 \(S\) 表示柱体的底面积，\(h\) 表示柱体的高。

锥体的体积公式 \(V_{锥体}=\frac{1}{3}Sh\)，其中 \(S\) 表示锥体的底面积，\(h\) 表示锥体的高。

球的体积公式 \(V_{球}=\frac{4}{3}\pi R^{3}\)，其中 \(R\) 表示球的半径。

第Ⅰ卷

注意事项：

1. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2. 本卷共9题,每小题5分,共45分。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合 \(A=\{x \in R | 1 \leq x \leq 3\}\)，\(B=\{x \in R | x^{2}<4\}\)，则 \(A \cup B=\)（）

(A) \(\{x | x>2\}\)  (B) \(\{x |-2

2. 已知命题 \(p: \log _{2} x>\log _{2} y\)，命题 \(q: 2^{x}>2^{y}\)，则命题 \(p\) 是命题 \(q\) 的（）

(A)充分不必要条件  (B)必要不充分条件  (C)充要条件  (D)既不充分也不必要条件

3. 等比数列 \(\{a_{n}\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_{n}\)，且 \(a_{1}+a_{4}=4\)，\(a_{2}+a_{5}=8\)，则 \(S_{6}=\)（）

(A) 24  (B) 28  (C) 36  (D) 48

4. 已知 \(x \in(e^{-1}, 1)\)，若 \(a=\ln x\)，\(b=(\frac{1}{2})^{\ln x}\)，\(c=e^{\ln x}\)，则 \(a、b、c\) 的大小关系为（）

(A) \(a

5. 在2024年某市普通高中学业水平考试(合格考)中, 对全市所有考生的数学成绩进行统计,可得到如图所示的频率分布直方图,其中分组的区间为 \([40,50),[50,60),[60,70),[70,80), [80,90), [90,100]\)，90分以上为优秀,则下列说法中不正确的是（）

(A)该市考生数学成绩的中位数为75分  (B)若要全市的合格考通过率达到96%,则合格分数线约为 \(44\) 分

(C)从全体考生中随机抽取1000人,则其中得优秀的考生约有100人  (D)若同一组中数据用该组区间中间值作代表值,可得考试数学成绩的平均分约为70

6. 已知 \(x^{2}=2 p y(p>0)\) 与 \(\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1\) 有一条公共渐近线，则 \(p\) 的值为（）

(A) \(\frac{15}{2}\)  (B) \(\frac{20}{3}\)  (C) \(\frac{40}{3}\)  (D) \(\frac{8 \sqrt{7}}{3}\)

7. 已知 \(a>0\)，\(b>0\)，则 \(\frac{1}{a}+\frac{a}{4 b^{2}}+b\) 的最小值为（）

(A) \(4 \sqrt{2}\)  (B) \(2 \sqrt{2}\)  (C)4  (D)2

8. 已知函数 \(f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)+k(A>0,\omega>0, |\varphi|<\frac{\pi}{2})\) 的部分图像如图所示，则下列说法正确的个数有（）

① \(f(x)\) 关于点 \((\frac{\pi}{6}, 3)\) 对称；② \(f(x)\) 关于直线 \(x=\frac{\pi}{3}\) 对称；③ \(f(x)\) 在区间 \([\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{6}]\) 上单调递减；④ \(f(x)\) 在区间 \((-\frac{5 \pi}{12}, \frac{\pi}{12})\) 上的值域为\([1,3)\)

(A) 1个  (B)2个  (C) 3个  (D) 4个

9. 正方体 \(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) 的棱长为3，平面 \(ABCD\) 内一动点 \(Q\) 满足 \(|QA|=2|QB|\)，当三棱锥 \(Q-DD_{1}A\) 体积取最大值时，则该三棱锥外接球的表面积为（）

(A) \(24 \pi\)  (B) \(27\pi\)  (C) \(54 \pi\)  (D) \(56 \pi\)

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共 6 个小题,每小题5分,共30分。

10. 若\(i\)为虚数单位，且 \(\frac{1-i}{3+i}=\)__________

11. 二项式 \((x+\frac{1}{\sqrt{x}})^{6}\) 的展开式中的常数项为__________

12. 某班有48名学生,一次考试的数学成绩 \(X\) (单位:分)服从正态分布 \(N(80, \sigma^{2})\) ,且成绩在\([80,90]\)上的学生人数为16,则成绩在90分以上的学生人数为__________

13. 假设某市场供应的灯泡中,甲厂产品60%,乙厂产品40%,甲厂产品的合格率为90%,乙厂产品的合格率为80%,在该市场中购买甲厂的两个灯泡,则恰有一个是合格的概率为__________；在该市场中随机购买一个灯泡,则这个灯泡是合格的概率为__________

14. 如图,在 \(\triangle ABC\) 中, \(\overrightarrow{AB}=\vec{a}\)，\(\overrightarrow{AC}=\vec{b}\) , D、F 分别为 \(BC\)、\(AC\) 的中点, P 为 \(AD\) 与 \(BF\) 的交点,且 \(\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{EB}\) ,若 \(\overrightarrow{BP}=x \vec{a}+y \vec{b}\) ,则 \(x+y=\)__________；若 \(AB=3\)，\(AC=4\)，\(\angle BAC=\frac{\pi}{3}\) 则 \(\overrightarrow{BP} \cdot \overrightarrow{ED}=\)__________

15. 已知函数 \(f(x)= \begin{cases}x^{2}+2 x, & x \leq0 \\ 2-\frac{4}{x}, & x>0\end{cases}\)，函数 \(F(x)=f(x)-|k x-1|\) 有且只有3个零点，则 \(k\) 取值范围是__________

三、解答题：本大题共5个小题,共75分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. (本小题满分14分)

在 \(\triangle ABC\) 中,内角 \(A、B、C\) 所对的边分别是 \(a、b、c\) ,已知 \(a=3\)，\(b-c=2\)，\(B=\frac{2 \pi}{3}\)

(Ⅰ)求 \(b、c\) 的值；

(Ⅱ)求 \(\sin C\) 的值；

(Ⅲ)求 \(\sin (B-C)\) 的值.

17. (本小题满分15分)

如图,已知四棱锥 \(P-ABCD\) , \(PD \perp\) 平面 \(ABCD\) , \(AB \parallel CD\) , \(AB \perp AD\) , \(CD=AD=\frac{1}{2} AB=1\)，\(\angle PAD=45^{\circ}\)。E 是 \(PA\) 的中点，\(AF=\frac{1}{4} AB\)

(Ⅰ)求证: \(DE \parallel\) 平面 \(PBC\) ;

(Ⅱ)求平面 \(FPC\) 与平面 \(PBC\) 夹角的余弦值;

(Ⅲ)求点 A 到平面 \(PBC\) 的距离.

18. (本小题满分15分)

已知椭圆 \(E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\) 的离心率为 \(\frac{\sqrt{5}}{5}\)，以椭圆 \(E\) 的四个顶点为顶点的四边形面积为 \(4 \sqrt{5}\)。

(Ⅰ)求椭圆 \(E\) 的方程;

(Ⅱ)已知点 \(A(0,-2)\) ,过点 \(P(0,-3)\) 且斜率为 \(k(k>0)\) 的直线 \(l\) 与椭圆 \(E\) 相交于不同两点 \(B、C\) ,直线 \(AB\)、\(AC\) 分别与直线 \(y=-3\) 交于点 \(M、N\) ,当 \(|PM|+|PN| ≤15\) 时, 求斜率 \(k\) 的取值范围.

19. (本小题满分15分)

已知等比数列 \(\{a_{n}\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_{n}\) , \(a_{n+1}=S_{n}+2\) , \(n \in N^{*}\)。

(Ⅰ)求数列 \(\{a_{n}\}\) 的通项公式;

(Ⅱ)在 \(a_{n}\) 与 \(a_{n+1}\) 之间插入 \(n\) 个数,使这 \(n+2\) 个数组成一个等差数列,记插入的这 \(n\) 个数之和为 \(T_{n}\)，若不等式 \((-1)^{n} \lambda<2-\frac{3 n}{T_{n}}\) 对一切 \(n \in N^{*}\) 恒成立,求实数 \(\lambda\) 的取值范围;

(Ⅲ)设 \(b_{n}=\frac{1}{\log _{2} a_{n}^{2}}\)，证明: \(\frac{b_{1}-b_{2}}{\sqrt{b_{1}}}+\frac{b_{2}-b_{3}}{\sqrt{b_{2}}}+\cdots+\frac{b_{n}-b_{n+1}}{\sqrt{b_{n}}}<\sqrt{2}\)

20. (本小题满分16分)

已知函数 \(f(x)=\ln (x+1)\)，\(g(x)=a x^{2}+x\)。

(Ⅰ)求函数 \(f(x)\) 在点 \((1, f(1))\) 处的切线方程;

(Ⅱ)当 \(x>-1\) 时, \(f(x) ≤g(x)\) ,求实数 \(a\) 的取值范围;

(Ⅲ)已知 \(n \in N^{*}\)，证明: \(sin \frac{1}{n+1}+sin \frac{1}{n+2}+\cdots+sin \frac{1}{2 n}<\ln 2\)

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!

第Ⅰ卷

注意事项:

1. 每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2. 本卷共9小题,每小题5分,共45分。

参考公式:

·如果事件A与事件 B 互斥,那么 \(P(A \cup B)=P(A)+P(B)\)。

·如果事件A与事件 B 相互独立,那么 \(P(AB)=P(A)P(B)\)。

·棱柱的体积公式 \(V=Sh\) ,其中 S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高。

·棱锥的体积公式 \(V=\frac{1}{3}Sh\) ,其中 S 表示棱锥的底面面积, h 表示棱锥的高。

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合 \(U=\{-2,0,1,2,3\}\) , \(M=\{-2,2\}\) , \(N=\{x |-1 ≤x ≤2, x \in N\}\) ,则 \((\complement_{U} M) \cap N=\) ( )

(A) \(\{-1,0,1\}\)  (B) \(\{-1,0,3\}\)  (C) \(\{0,1\}\)  (D) \(\{0,1,2\}\)

2.已知 \(x>0\) , \(y>0\) ,则 \(x^{2025}>y^{2025}\) 是 \(\ln x>\ln y\) 的 ( )

(A)充要条件  (B)必要不充分条件  (C)充分不必要条件  (D)既不充分也不必要条件

3.已知函数 \(f(x)\) 的部分图象如图所示,则 \(f(x)\) 的解析式可能为 ( )

(A) \(f(x)=\frac{\ln |x| \cdot \sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{x}{2}\right)}{x}\)

(B) \(f(x)=\frac{\ln |x| \cdot \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{x^{2}}\)

(C) \(f(x)=\frac{\ln |x| \cdot \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{x}\)

(D) \(f(x)=\frac{\ln |x| \cdot \sin x}{x}\)

4.下列说法正确的是 ( )

(A)一组数据1,1,2,3,5,8,13,21的第60百分位数为4

(B)在回归分析模型中,若决定系数 \(R^{2}\) 越小,则残差平方和越大,模型的拟合效果越差

(C)两个随机变量的线性相关程度越强,则样本相关系数 r 越接近于1

(D)根据分类变量 x 与 Y 的成对样本数据,计算得到 \(\chi^{2}=8.932\) ,根据小概率值 \(\alpha=0.01\) 的独立性检验 \((x_{0.01}=6.635)\) ,可判断变量 X 与 Y 独立,此推断犯错误的概率不大于0.01

5.已知 \(a=\log _{3} \frac{\sqrt{3}}{3}\)，\(b=\log _{\sqrt{5}} 3\)，\(c=\left(\frac{1}{5}\right)^{\frac{1}{5}}\) 则 ( )

(A) \(b>c>a\)  (B) \(c>b>a\)  (C) \(a>c>b\)  (D) \(a>b>c\)

6.已知 \(x=\frac{\pi}{6}\) 是函数 \(f(x)=2 \cos (2 x+\varphi)(|\varphi|<\frac{\pi}{2})\) 图象的一个对称轴,则下列说法错误的是 ( )

(A) \(\left(\frac{5 \pi}{12}, 0\right)\) 是函数 \(f(x)\) 图象的一个对称中心

(B)函数 \(f(x)\) 的图象可由 \(y=2 \sin 2 x\) 图象向左平移 \(\frac{\pi}{12}\) 个单位长度得到

(C)函数 \(f(x)\) 在区间 \(\left(\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right)\) 上单调递减

(D)函数 \(f(x)\) 在区间 \(\left(-\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right)\) 上有且仅有一个零点

7.已知双曲线 \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)\) 的左、右焦点分别为 \(F_{1}\)、\(F_{2}\)，点 \((2, \sqrt{3})\) 为双曲线右支上一点, 以坐标原点 O 为圆心,以 \(|OF_{1}|\) 为半径的圆与双曲线的渐近线在第一象限内交于点 P ,同时点 P 在线段 \(OF_{2}\) 中垂线上,则该双曲线的标准方程为 ( )

(A) \(x^{2}-\frac{2 y^{2}}{3}=1\)  (B) \(\frac{2 x^{2}}{3}-y^{2}=1\)  (C) \(\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{9}=1\)  (D) \(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{3}=1\)

8.已知数列 \(\{a_{n}\}\) 和 \(\{b_{n}\}\) 的通项公式分别为 \(a_{n}=3^{n}\) , \(b_{n}=n\) ,在 \(b_{m}\) 与 \(b_{m+1}\) 之间插入数列 \(\{a_{n}\}\) 的前 m 项,构成新数列 \(\{c_{n}\}\) ,即 \(b_{1}\) , \(a_{1}\) , \(b_{2}\) , \(a_{1}\) , \(a_{2}\) , \(b_{3}\) , \(a_{1}\) , \(a_{2}\) , \(a_{3}\) , \(b_{4}\) , \(a_{1}\) , \(a_{2}\) , \(a_{3}\) , \(a_{4}\) , \(b_{5}\) ,$\dots$。记数列 \(\{b_{n}\}\) 的前 n 项和为 \(S_{n}\)，则 \(\sum_{i=1}^{S_{8}} c_{i}=\) ( )

(A)30  (B)4944  (C)9876  (D)14748

9.《九章算术》中记载了几何体”刍甍”,即”刍者,下有袤有广,而上有袤无广。刍,草也，屋盖也。”译为:底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱。现有一刍甍如图所示,底面 \(ABCD\) 为矩形, \(EF \parallel AB\) 且 \(EF=\frac{3}{4}AB\)，\(\triangle BCF\) 为等边三角形,且平面 \(BCF \perp\) 平面 \(ABCD\) ,点 M 为棱 \(EF\) 上靠近点 E 的三等分点,平面 \(BCM\) 将几何体分成体积为 \(V_{1}\)、\(V_{2}(V_{1}>V_{2})\) 的左、右两部分，则 \(\frac{V_{2}}{V_{1}}\) 的值为 ( )

(A) \(\frac{2}{11}\)  (B) \(\frac{2 \sqrt{3}}{9}\)  (C) \(\frac{3 \sqrt{3}}{2}\)  (D) \(\frac{2}{9}\)

第Ⅱ卷

注意事项:

1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2. 本卷共11小题,共105分。

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。试题中包含两个空的,答对1个的给3分,全部答对的给5分。

10.已知i是虚数单位,化简 \(\frac{2+3 i}{1-2 i}\) 的结果为______。

11.在 \(\left(2 x^{2}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{6}\) 的展开式中，\(x^{5}\) 的系数为______。

12.已知圆心位于抛物线 \(y^{2}=4 x\) 焦点处的圆,与直线 \(3 x-4 y+7=0\) 相交于 A、B 两点,且 \(|AB|=2\sqrt{5}\) ,则圆的标准方程为______。

13.某校为增强学生文化底蕴,传承天津传统文化,开设了软笔书法、杨柳青年画、泥人彩塑、剪纸、相声五个特色社团。假设甲、乙两位同学从五个社团中随机选择一个加入,则两人都选择软笔书法社团的概率为______；每位同学只能加入一个社团,那么在两位同学至少有一人选择杨柳青年画社团的条件下,两人选择不同社团的概率为______。

14.如图,在平行四边形 \(ABCD\) 中，\(\angle BAD=\frac{\pi}{3}\) , \(|AB|=3\) , \(|AD|=2\) ,点 E 为 \(BC\) 中点，\(\overrightarrow{CG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}\)，点 F 为边 \(AD\) 上的点。若点 F 满足 \(\overrightarrow{AF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}\) 且 \(\overrightarrow{EF}=\lambda \overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AD}\) 则 \(\lambda+\mu=\)______；若点 F 为线段 \(AD\) 上的动点,则 \(\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{FG}\) 的取值范围为______。

15.已知函数 \(f(x)=|a x^{2}+2 x+1|-a x-3\)。若函数 \(f(x)\) 恰有四个零点,则实数 a 的取值范围为______。

三、解答题:本大题共5小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

16.在 \(\triangle ABC\) 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 \(a=3\)，\(5a\sin C=3c\sin B\)，\(\cos C=\frac{1}{5}\)。

(Ⅰ)求 c 的值;

(Ⅱ)求 \(\sin B\) 的值;

(Ⅲ)求 \(\sin (2 B+\frac{\pi}{6})\) 的值。

17.(本小题满分15分)

如图,在四棱锥 \(S-ABCD\) 中, \(SA \perp\) 平面 \(ABCD\)，\(BA \perp AD\) , \(AD \parallel BC\) , \(AB=BC=2\) , \(AD=AS=4\)，M 为 \(SD\) 的中点。

(Ⅰ)求证: \(MC\parallel\) 平面 \(SAB\) ;

(Ⅱ)求直线 \(CM\) 与平面 \(SAC\) 的夹角;

(Ⅲ)求点 M 到平面 \(SAC\) 的距离。

18.(本小题满分15分)

已知椭圆 \(C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\) 的离心率为 \(\frac{1}{2}\)，左顶点为 A，上顶点为 B，\(\triangle OAB\) 的面积为 \(\sqrt{3}\)。

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)过点 \(P(0,-3)\) 的动直线与椭圆 C 交于不同的两点 M、N（M 在 P、N 之间），求 \(\frac{S_{\triangle OMN}}{S_{\triangle OPM}}\) 的取值范围。

19.(本小题满分15分)

已知等差数列 \(\{a_{n}\}\) 满足 \(a_{2}+a_{5}=16\) , \(a_{4}=3 a_{1}\) ,记数列 \(\{a_{n}\}\) 的前 n 项和为 \(S_{n}\)。

(Ⅰ)求数列 \(\{a_{n}\}\) 的通项公式;

(Ⅱ)在数列的每相邻两项间插入这两项的和,而形成新的数列,这样的过程叫做该数列的一阶”H拓展”。例如,对于数列1,2,3,一阶”H拓展”得到数列1,3,2,5,3;二阶”H拓展”得到数列 \(1,4,3,5,2,7,5,8,3\)；$\dots \dots$ 设 n 阶”H拓展”得到数列 \(1, x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}, 3(m \in N^{*})\) ,设 \(b_{n}=1+x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{m}+3\) ,则 \(b_{1}=1+3+2+5+3=14\)，\(b_{2}=1+4+3+5+2+7+5+8+3=38\)。

(i)求数列 \(\{b_{n}\}\) 的通项公式;

(ii)设 \(c_{n}=\begin{cases}a_{n}(b_{n}-2), & n=2 k-1 \\ \frac{12(4 n+5)}{(n+1)(n-1)(b_{n}-2)}, & n=2k\end{cases}(k\in N^{*})\)，求数列 \(\{c_{n}\}\) 的前 \(2n\) 项和 \(T_{2n}\)。

20.(本小题满分16分)

已知函数 \(f(x)=x-a\ln x-1(a\in R)\)，\(g(x)=m\ln x+(a+1)x\)。

(Ⅰ)求函数 \(f(x)\) 的单调区间;

(Ⅱ)若对 \(0

(Ⅲ)求证:对于任意正整数 n ,有 \(\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1}<\ln (n+1)<\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\)。

一、选择题

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集 \(U=\{x | 1
2. 已知 \(m\)、\(l\) 是两条不同的直线，\(\alpha\)，\(\beta\) 是两个不同的平面，则 \(\alpha \perp \beta\) 是 \(l \perp \alpha\)，\(m \parallel l\)，\(m \parallel \beta\) 的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 下列四个函数中，既是偶函数又在区间 \((0, \frac{\pi}{2})\) 上为增函数的是（） A.\(y=x sin x\) B.\(y=sin 2x\) C.\(y=tan x\) D.\(y=cos \frac{x}{2}\)
4. 已知 \(a=log _{0.5} 3\)，\(b=log _{2} 3\)，\(c=2^{-0.1}\)，则 \(a\)，\(b\)，\(c\) 的大小关系是（） A.\(a
5. 下列说法不正确的是（） A.对具有线性相关的变量 \(x\)、\(y\)，其回归直线方程为 \(\hat{y}=-3x+m\)，若样本点的中心为 \((m, 2.8)\)，则实数 \(m\) 的值是-4 B.若随机变量 \(X\) 服从正态分布 \(N(3, \sigma^{2})\)，且 \(P(X ≤4)=0.7\)，则 \(P(3
6. 已知数列 \(\{a_{n}\}\) 的前 \(n\) 项和为 \(S_{n}\)，若 \(a_{1}=2\)，\(a_{n+1}=2 S_{n}+2(n \in N^{*})\)，则 \(a_{4}=\)（） A.16 B.32 C.54 D.162
7. 如图，正方体 \(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) 的棱长为4，\(E\)，\(F\) 分别为棱 \(CD\)，\(C_{1}D_{1}\) 的中点，则三棱锥 \(F-ADE\) 外接球的体积为（） A.24\(\pi\) B.28\(\pi\) C.32\(\pi\) D.36\(\pi\)
8. 已知 \(\omega>0\)，\(|\varphi|<\frac{\pi}{2}\)，若 \(x=\frac{\pi}{6}\) 和 \(x=\frac{7 \pi}{6}\) 是函数 \(f(x)=cos (\omega x+\varphi)\) 的两个相邻的最值点，将 \(y=f(x)\) 的图象向左平移 \(\frac{\pi}{6}\) 个单位长度得到函数 \(y=g(x)\) 的图象，则下列说法正确的是（） A.\(y=g(x)\) 是奇函数 B.\(y=g(x)\) 的图象关于点 \((-\frac{\pi}{2}, 0)\) 对称 C.\(y=g(x)\) 的图象关于直线 \(x=\frac{\pi}{2}\) 对称 D.\(y=g(x)\) 的最小正周期为 \(\pi\)
9. 已知双曲线 \(E: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)\) 的左、右焦点分别为 \(F_{1}\)，\(F_{2}\)，过 \(F_{2}\) 作一条渐近线的垂线，垂足为\(A\)，延长 \(F_{2}A\) 与另一条渐近线交于点 \(B\)，若 \(S_{\triangle BOF_{1}}=3 S_{\triangle AOB}\)（\(O\) 为坐标原点），则双曲线的离心率为（） A.\(\sqrt{3}\) B.2 C.\(\sqrt{5}\) D.\(\sqrt{6}\)

二、填空题

本大题共6小题，每小题5分，共30分。

10. 已知\(i\)是虚数单位，复数 \(\frac{7+i}{3+4 i}\) 的虚部为__________。
11. \((2 x^{3}+\frac{1}{\sqrt{x}})^{6}\) 的展开式中含 \(x^{4}\) 项的系数为__________。
12. 已知抛物线 \(y^{2}=4 x\) 上的点 \(P\) 到抛物线的焦点 \(F\) 的距离为6，则以线段 \(PF\) 的中点为圆心，\(|PF|\) 为直径的圆被x轴截得的弦长为__________。
13. 盒子里装有同样大小的4个白球和 3 个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球。(1)则甲所取的2个球为同色球的概率为__________；(2)设事件 \(M\) 为“甲所取的2个球为同色球”，事件 \(N\) 为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件 \(M\) 发生的条件下，事件 \(N\) 发生的概率 \(P(N | M)=\)__________。
14. 已知向量 \(\overrightarrow{AB}\)，\(\overrightarrow{AC}\)，\(\overrightarrow{AD}\) 满足 \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\)，\(|\overrightarrow{AB}|=2\)，\(|\overrightarrow{AD}|=1\)，\(E\)，\(F\) 分别是线段 \(BC\)，\(CD\) 的中点。若 \(\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{BF}=-\frac{15}{4}\)，则 \(|\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{AB}|=\)__________；若点 \(P\) 为 \(DE\) 上的动点，且 \(\overrightarrow{AP}=x \overrightarrow{AB}+y \overrightarrow{AD}\)，则 \(\frac{x^{2}+y}{x y}\) 的最小值为__________。
15. 已知函数 \(f(x)= \begin{cases}log _{2} x,02\end{cases}\)，若 \(f(a+1)-f(2 a-1) ≥0\)，则实数 \(a\) 的取值范围为__________。

三、解答题

本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. 在 \(\triangle ABC\) 中，角 \(A\)、\(B\)、\(C\) 所对的边分别为 \(a\)，\(b\)，\(c\)，满足 \((2 a-c) cos B=b cos C\)。 (1)求角 \(B\) 的大小； (2)设 \(a=2\)，\(b=\sqrt{7}\) (i)求边 \(c\) 的值； (ii)求 \(cos (2 C-B)\) 的值。
17. 如图，已知在四棱锥 \(P-ABCD\) 中，\(PD \perp\) 平面 \(ABCD\)，四边形 \(ABCD\) 为直角梯形，\(AD \perp CD\)，\(AB \parallel CD\)，\(AB=AD=PD=2\)，\(CD=4\)，点 \(E\) 是棱 \(PC\) 上靠近 \(P\) 端的三等分点，点 \(F\) 是棱 \(PA\) 上一点。 (1)证明：\(PA\parallel\) 平面 \(BDE\)； (2)求点 \(F\) 到平面 \(BDE\) 的距离； (3)求平面 \(BDE\) 与平面 \(PBC\) 夹角的余弦值。
18. 已知椭圆 \(E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)\) 的一个顶点为 \(A(0,1)\)，焦距为 \(2 \sqrt{3}\)。 (1)求椭圆 \(E\) 的方程； (2)过点 \(P(-2,1)\) 作斜率为 \(k\) 的直线与椭圆 \(E\) 交于不同的两点 \(B\)，\(C\)，直线 \(AB\)，\(AC\) 分别与x轴交于点 \(M\)，\(N\)，当 \(|MN|=2\) 时，求 \(k\) 的值。
19. 已知数列 \(\{a_{n}\}\) 是正项等比数列，\(\{b_{n}\}\) 是等差数列，且 \(a_{1}=2 b_{1}=2\)，\(a_{2}=b_{4}\)，\(a_{5}=4 a_{3}\)。 (1)求数列 \(\{a_{n}\}\) 和 \(\{b_{n}\}\) 的通项公式； (2)设 \(c_{n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{4 \sqrt{b_{n+2}}-\sqrt{b_{n}}}{a_{n+2} \cdot \sqrt{b_{n}^{2}+2 b_{n}}}, n=2 k-1, k \in N^{*} \\ a_{n} \cdot b_{n}, n=2 k, k \in N^{*}\end{array}\right.\)，求数列 \(\{c_{n}\}\) 的前 \(2n\) 项和； (3) \([x]\) 表示不超过 \(x\) 的最大整数，\(T_{4 n}\) 表示数列 \((-1)^n b_{n}^{2}\) 的前 \(4 n\) 项和，集合 \(A=\{n | \lambda \leq \frac{T_{4 n} \cdot b_{n+2}}{a_{n+2}}, n \in N^{*}\}\) 共有4个元素，求 \(\lambda\) 的取值范围。
20. 已知函数 \(f(x)=\frac{1}{2} x^{2}-a \ln x+b(a \in R)\)。 (1)若曲线 \(y=f(x)\) 在 \(x=1\) 处的切线的方程为 \(3 x-y-3=0\)，求实数 \(a\)，\(b\) 的值； (2)当 \(a=1\) 时，\(f(x_{1})=f(x_{2})\)，且 \(x_{1} ≠x_{2}\)，求证 \(x_{1}+x_{2}>2\)； (3)若 \(0